Câu 1
Giả sử $P$ là điểm nằm ở miền trong tam giác $ABC$ còn $D, E, F$ tương ứng là giao điểm của $AP$ và $BC$, $BP$ và $CA$, $CB$ và $AB$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $ABC$ là $6$ nếu diện tích mỗi tam giác $PFA, PDB, PEC$ đều bằng $1$.
Câu 2
Trong mỗi ô của bảng hình vuông $2012\times 2012$, người ta viết một số thực thuộc $[0;1]$. Chia bảng thành hai hình chữ nhật không rỗng bằng cách kẻ một đường thẳng song song với mép ngang hoặc mép dọc của bảng.
Giả sử rằng đối với ít nhất một trong các hình chữ nhật, tổng của các con số trong các ô bên trong hình chữ nhật nhỏ hơn hoặc bằng 1, với bất kì cách chia nào. Xác định giá trị lớn nhất có thể với tổng của tất cả $2012 \times 2012$ số được đưa vào các ô trong bảng.
Câu 3.
Xác định tất cả các cặp $(p,n)$ với $p$ là số nguyên tố, $n$ là số nguyên dương sao cho: $ \frac{ n^{p}+1 }{p^{n}+1} $ là một số nguyên
Câu 4.
Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường cao $AD$, trung tuyến $AM$, trực tâm $H$, đường tròn ngoại tiếp kí hiệu là $\Gamma$. $\Gamma$ cắt $MH$ tại $E$, cắt $ED$ tại $F$ (khác $E$). Chứng minh rằng: $$ \frac{BF}{CF}=\frac{AB}{AC} $$
Câu 5.
Cho số nguyên $n \geq 2$. Chứng minh rằng nếu các số thực $a_1;a_2;...;a_n$ thỏa mãn:
$$ a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}= n $$
thì:
\[ \sum_{1\le i < j\le n}\frac{1}{n-a_{i}a_{j}}\le\frac{n}{2} \]
File đáp án có thể tải về trong phần comments cuối bài viết.Xem Thêm:
Đề thi và Đáp án Olympic Toán Châu Á Thái Bình Dương các năm trước.
No comments:
Post a Comment