SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 04/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
1) Chứng minh rằng: $A=(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012})-(a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}) \,\,\,\vdots \,\,\,\, 30 $ với mọi $a,b,c$ nguyên dương
2) Cho $f(x)=(2x^3-21x-29)^{2012}$. Tính $f(x)$ khi $x=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}} +\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$
1) Giải phương trình: $\sqrt{x^2+5}+3x=\sqrt{x^2+12}+5$
2) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + xy + x - y - 2{y^2} = 0 \\ {x^2} - {y^2} + x + y = 6 \\ \end{gathered} \right.$
1) Chứng minh rằng: $OA$ vuông góc $MN$
2) Cho $AH=\sqrt{2};BC=\sqrt{7}$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$.
1) Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để một tam giác có các đường cao $h_1;h_2;h_3$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$ là tam giác đều là:
$$\frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1}=\frac{1}{3r}$$
2) Cho $8045$ điểm trên một mặt phẳng sao cho cứ $3$ điểm bất kì thì tạo thành $1$ tam giác có diện tích nhỏ hơn $1$. Chứng minh rằng: Luôn có thể có ít nhất $2012$ điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của $1$ tam giác có diện tích nhỏ hơn $1$.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP. ĐÀ NẴNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán. Ngày thi: 16/02/12 Thời gian làm bài: 150 phút(không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức: $A = \left( {\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}} + \frac{{1 - 2\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)$ với $x>0;x\ne 1$. Rút gọn biểu thức $A$ và tìm các giá trị nguyên của $x$ để $A$ là số nguyên.
b) Cho biểu thức:
$$M = \left({\sqrt x + \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} - \sqrt {x + 2} } \right) ×$$
$$× \left( {\sqrt x - \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\left( { - \sqrt x + \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)$$
Với $x$ là số tự nhiên khác $0$. Chứng minh $M$ cũng là số tự nhiên.
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Tìm $x$ biết: $\sqrt{x+24}+\sqrt{x-16}=10$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + xy + y = 9\\y + yz + z = 4\\z + zx + x = 1\end{array} \right.$
Bài 3. (2,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tứ giác $ABCD$ có $A(0;1);B(0;4);C(6;4)$ và $D(4;1)$. Gọi d là đường thẳng cắt các đoạn thẳng $AD,BC$ lần lượt tại $M,N$ sao cho đường thẳng $d$ chia tứ giác $ABCD$ thành 2 phần có diện tích bằng nhau, biết phương trình đường thẳng d có dạng $y=mx-\frac{5m}{3}$ (với $m\ne 0$).
a) Tìm tọa độ của $M$ và $N$.
b)Tìm toạn độ điểm $Q$ trên $d$ sao cho khoảng cách từ $Q$ đến trục $Ox$ bằng 2 lần khoảng cách từ $Q$ đến $Oy$.
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn tâm $O$, gọi $H$ là trung điểm $BC$. Trên các cạnh $AB,AC$ lần lượt lấy hai điểm $D,E$ sao cho $\widehat{DHE}=60^o$. Lấy $M$ bất kì trên cung nhỏ $AB$.
a) Chứng minh ba đường phân giác của ba góc $\widehat{BAC},\widehat{BDE},\widehat{DEC}$ đồng quy.
b) Cho $AB$ có độ dài $1$ đơn vị. Chứng minh: $MA+MB < \frac{4}{3}$
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ không cân, vẽ phân giác trong $Ax$ của góc $A$. Vẽ đường thẳng $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Gọi $E$ là giao của $Ax$ và $d$. Chứng minh $E$ nằm ngoài tam giác $ABC$.
Bài 6. (1,0 điểm)
Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa điều kiện $xyz=1$. Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{{1 + {x^3} + {y^3}}} + \frac{1}{{1 + {y^3} + {z^3}}} + \frac{1}{{1 + {z^3} + {x^3}}} \le 1\]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 06/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
1. Cho $ f(x)= \frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}$. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
$$A = f\left( {\frac{1}{{2012}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2012}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2010}}{{2012}}} \right) + f\left( {\frac{{2011}}{{2012}}} \right)$$
2.Cho biểu thức: $$ P=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{x^{2}-\sqrt{x}}$$
Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho giá trị của $P$ là một số nguyên.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $\ (x+y)^{3}=(x-y-6)^{2}$.
Cho $\ a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $ abc+bcd+cda+dab= a+b+c+d+\sqrt{2012}$. Chứng minh rằng: $$ (a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)\geq 2012$$
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho 3 đường tròn $(O_1), (O_2)$ và $(O)$. Giả sử $(O_1)$ và $(O_2)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $I$ và cùng tiếp xúc trong với $(O)$ tại $M_1 , M_2$. Tiếp tuyến của $(O_1)$ tại $I$ cắt $(O)$ tại $A,A'$. $AM_1$ cắt lại $(O_1)$ tại điểm $N_1, AM_2$ cắt lại $(O_2)$ tại điểm $N_2$ .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN - BẢNG A Ngày thi: 06/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
1. Cho $A = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} ; B = \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$. Tính $A + B$.
2. Cho $a, b, c$ là các số khác $0$ thoả mãn $a + b + c = 0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^4}{a^4-(b^2-c^2)^2}+\frac{b^4}{b^4-(c^2-a^2)^2}+\frac{c^4}{c^4-(a^2-b^2)^2}=\frac{3}{4}$$
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2} = 4 \\ \sqrt{x + 7} + \sqrt{y + 7} = 6 \end{array} \right.$
2. Cho $x, y$ là hai số nguyên khác $-1$ sao cho $\frac{x^4-1}{y+1}+\frac{y^4-1}{x+1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^{2012}-1$ chia hết cho $y+1$
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $32x^6+16y^6+4z^6=t^6$
Cho tứ giác lồi $ABCD$ biết $AB = BD, \widehat{BAC}=30^0, \widehat{ADC}=150^0$. Chứng minh rằng $CA$ là tia phân giác của góc $BCD.$
Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác $ABC$, gọi $K, P, Q$ lần lượt là các tiếp điểm của các cạnh $BC, AC$ và $AB$. Gọi $R$ là trung điểm của đoạn thằng $PK$. Chứng minh rằng: $\widehat{PQC}=\widehat{KQR}.$
Cho ba số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng: $$\frac{a^4}{b^3(c+2a)}+\frac{b^4}{c^3(a+2b)}+\frac{c^4}{a^3(b+2c)}\geq1$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HẢI PHÒNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN - BẢNG B Ngày thi: 06/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
a) Cho $A=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}};B=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$. Tính $A+B$.
b) Cho $a,b,c$ là các số khác $0$ thỏa mãn $a+b+c=0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}-c^{^{2}}}+\frac{b^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{^{2}}}+\frac{c^{2}}{c^{2}-a^{2}-b^{^{2}}}=\frac{3}{2}$$
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=4\\ \sqrt{x+7}+\sqrt{y+7}=6 \end{matrix}\right.$
b) Cho $x,y,z$ là những số nguyên thỏa mãn điều kiện $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ chia hết cho $4$. Chứng minh rằng: cả $x,y,z$ đều chia hết cho $4$.
Bài 3. (1,0 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+4=y^{2}$.
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ và $C$ với đường tròn cắt tiếp tuyến vẽ từ điểm $B$ của đường tròn lần lượt tại $P$ và $Q$. Trong tam giác $ABC$ vẽ đường cao $BH$ ($H$ nằm giữa $A$ và $C$). Chứng minh rằng $HB$ là tia phân giác của $\widehat{PHQ}$.
Bài 5. (2,0 điểm)
Bài 6. (1,0 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\frac{a^{2}}{b(c+2a)}+\frac{b^{2}}{c(a+2b)}+\frac{c^{2}}{a(b+2c)}\geq 1$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 12/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
a) Rút gọn $A$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$
Câu 2 (4 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức $\frac{a+1}{\sqrt{a^{4}+a+1}-a^{2}}$ trong đó a là nghiệm của phương trình $4x^{2}+\sqrt{2}x-\sqrt{2}=0$
2. Giải phương trình : $3x^{2}+2x = 2\sqrt{x^{2}+x}-x+1$
1. Chứng minh rằng $\large \sqrt{a}+ \sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}\leq a+2$ trong đó a là số thực không âm .
2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(x,y,z)$ thỏa mãn
$$\begin{cases} & \text{ } y^{3} =x^{3}+2x^{2}+1\\ & \text{ } xy = z^{2} +2 \end{cases}$$
a) Hỏi 3 chuông lại cùng reo lần tiếp theo vào lúc nào ?
b) Hỏi trong khoảng từ 7 giờ 30 phút đến 11 giờ 30 phút có bao nhiêu lần nghe thấy tiếng chuông đồng thời của chỉ 2 trong 3 chuồng.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ và đường cao $AH$.
a) Chứng minh hệ thức $AB.AC = 2R.AH.$
b) Cho $AH = R\sqrt{2}$ , gọi $D,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ xuống $AB, AC$. Chứng minh rằng $S_{ADK}= \frac{1}{2}S_{ABC}$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 03/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Thực hiện phép tính:
$$\dfrac{\sqrt[4]{3+2\sqrt{2}}.\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt[3]{(x+12)\sqrt{x}-6x-8}}{\dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{\sqrt{2}+1}.\sqrt[4]{3-2\sqrt{2}}}$$
Bài 2. (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: $21^{39}+39^{21}\,\,\vdots \,\,\,45$
b) Tìm $a,b$ thuộc ${\mathbb{N}^*}$ sao cho: $\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{2}{7}$
a) Giải phương trình: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}=\frac{1}{2}(x+y+z)$
b) Tìm $k$ để phương trình $x^2-(2+k)x+3k=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$, sao cho $x_1;x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 10
c) Cho biểu thức $A=x\sqrt{3+y}+y\sqrt{3+x}$, với $x,y\geq 0;x+y=2012$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$.
Cho tam giác nhọn $ABC(AB<AC)$ nội tiếp $(O;R)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác cắt nhau tại $I$.
a) Chứng minh tâm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$
b) Giả sử $\widehat{BAC}=60^0$. Tính diện tích tứ giác $AEOF$ theo $R$
Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác đều $ABC$. Một tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ cắt các cạnh $AB,AC$ của tam giác theo thứ tự ở $P,Q$. Chứng minh rằng:
a) $PQ^2+AP.AQ=AP^2+AQ^2$
b) $\frac{AP}{BP}+\frac{AQ}{CQ}=1$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 01/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
1. Tính giá trị của biểu thức sau: $A=\frac{1+4x}{1+\sqrt{1+4x}}+\frac{1-4x}{1-\sqrt{1-4x}}$, biết $x=\frac{\sqrt{2}}{9}$
2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình $(m+1)x^2-(2m+1)x+m-1=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^2 +x_{2}^2-2009x_{1}x_{2}=2012$
1. Giải phương trình: $(2\sqrt{x+2}-\sqrt{4x+1})(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2})=7$
2. Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x+y-2=4\sqrt{z-2} & & \\y+z-2=4\sqrt{x-2} & &\\ z+x-2=4\sqrt{y-2} \end{matrix}\right.$
Bài 3. (4,0 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $x$ biết $x, y$ là 2 số thỏa mãn đẳng thức $y^2=3(xy+y-x-x^2)$
2. Tìm các số nguyên $k$ để biểu thức $k^4-8k^3+23k^2-26k+10$ là số chính phương.
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn đường kính $AB$. Trên đoạn thẳng $AO$ lấy điểm $H$ bất kì không trùng với $A$ và $O$, kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại $H$, trên $d$ lấy điểm $C$ nằm ngoài đường tròn, từ $C$ kẻ 2 tiếp tuyến $CM$ và $CN$ với đường tròn $(O)$ với $M$ và $N$ là các tiếp điểm, ($M$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $d$ có chứa điểm $A$). Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là giao điểm của $CM, CN$ với đường thẳng $AB$.
1. Chứng minh rằng $HC$ là tia phân giác $\widehat{MHN}$
2. Đường thẳng đi qua $O$ vuông góc với $AB$ cắt $MN$ tại $K$ và đường thẳng $CK$ cắt đường thẳng $AB$ tại $I$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $PQ$.
3. Chứng minh rằng ba đường thẳng $PN, QM, CH$ đồng quy.
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho 3 số dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=6$. Chứng minh rằng: $$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz\geq 8$$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 29/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
a) Tìm $x, y$ nguyên dương sao cho $6x + 5y + 18 = 2xy$
b) Chứng minh $A$ là số tự nhiên với mọi số tự nhiên $a$:
$$A = \frac{a^5}{120}+\frac{a^4}{12}+\frac{7a^3}{24}+\frac{5a^2}{12}+\frac{a}{5}$$
a) Giải phương trình: $4\sqrt{x+1}= x^2 - 5x + 14$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} y = x^2 \\ z = xy \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{6}{z} \end{matrix}\right.$
a) Cho $a = \frac{1-\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị biểu thức $\sqrt{16a^8 - 51a}$
b) Cho $a, b$ là các số thực dương. Chứng minh:
$$(a+b)^2 + \frac{a+b}{2} \geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}$$
a) Chứng minh $P, C, Q$ thẳng hàng.
b) Khi $AM = BC$, chứng minh tia $MI$ đi qua trung điểm của $AC$.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
1. Chứng minh rằng nếu $a+b+c+d = 0$ thì $a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3(ac-bd)(b+d)$
2. Tìm một số gồm hai chữ số sao cho tỷ số giữa số đó với tổng hai chữ số của nó là lớn nhất.
1. Giải phương trình: $\sqrt{x-1} - \sqrt[3]{2-x} = 5$
2. Trong một lớp học chỉ có hai loại học sinh là giỏi và khá. Nếu có $1$ học sinh giỏi chuyển đi thì $\frac{1}{6}$ số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Nếu có $1$ học sinh khá chuyển đi thì $\frac{1}{5}$ số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Tính số học sinh của lớp.
Bài 3: (4 điểm)
1. Cặp số $(x, y)$ là nghiệm phương trình: $x^2 y +2xy - 4x + y = 0$. Tìm giá trị lớn nhất của $y$.
2. Cho ba số thực $a, b, c$ $\not=\ 0$ thỏa $a + b +c \not=\ 0$ và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$. Chứng minh rằng trong ba số $ a, b, c$ có hai số đối nhau.
Bài 4: (5 điểm)
Cho $(O; R)$ có đường kính $AB$ cố định; một đường kính $CD$ thay đổi không vuông góc và không trùng $AB$. Vẽ tiếp tuyến $(d)$ của đường tròn $(O)$ tại $B$. Các đướng thẳng $AC, AD$ lần lượt cắt $(d)$ tại $E$ và $F$.
1. Chứng minh tứ giác $CEFD$ nội tiếp được trong đường tròn.
2. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$. Chứng minh rằng $I$ di động trên một đường thẳng cố định.
Bài 5: (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có các đường phân giác trong $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $G$. Chứng minh rằng nếu $GD =GE$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A$ hoặc góc $A$ bằng $60^0$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 29/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
b) Gọi ${x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} \le {x_2}} \right)$ là hai nghiệm của phương trình. Tính $P=\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}$ theo $m$ và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$Q= {x_1} + {x_2} + \frac{2}{{{x_1} + {x_2}}}$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có các góc đều nhọn và $H$ là trực tâm. Gọi $M,N,P$ lần lượt là giao điểm thứ hai của các đường thẳng $AH,BH,CH$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC;\,\, D,E,F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ $A,B,C$ của tam giác $ABC$
a) Chứng minh tam giác $CHM$ cân
b) Tính tổng $\frac{AM}{AD} + \frac{BN}{BE} + \frac{CP}{CF}$
Bài 4. Không sử dụng máy tính hãy chứng minh:
$$\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2012\sqrt{2011}}< 2$$
Bài 5. Tìm số nguyên tố $p$ để $4{p^2} + 1$ và $6{p^2} + 1$ đều là số nguyên tố.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 23/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
1. Rút gọn biểu thức: $$A = \frac{{{x^2} - 5x + 6 + 3\sqrt {{x^2} - 6x + 8} }}{{3x - 12 + \left( {x - 3} \right)\sqrt {{x^2} - 6x + 8} }}$$
2. Phân tích thành nhân tử: ${a^3} + {b^3} + {c^3} - {\left( {a + b + c} \right)^3}$
3. Tìm $x$ biết ${\left( {{x^2} + x + 2} \right)^3} - {\left( {x + 1} \right)^3} = {x^6} + 1$
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{l} {{x^2} + xy - 2{y^2} = 0}\\ {xy + 3{y^2} + x = 3}\ \end{array}} \right.$
2. Giải phương trình: ${\left( {\frac{{x - 3}}{{x - 2}}} \right)^3} - {\left( {x - 3} \right)^3} = 16$
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $8{x^2} + 23{y^2} + 16x - 44y + 16xy - 1180 = 0$
2. Cho $n$ là số nguyên dương và $m$ là ước nguyên dương của $2{n^2}$. Chứng minh rằng ${n^2} + m$ không là số chính phương.
Cho đường tròn $(O;R)$ và $AB$ là đường kính. Gọi $d$ là đường trung trực của $OB$. Gọi $M$ và $N$ là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng $d$. Trên các tia $OM,ON$ lấy lần lượt các điểm $M'$ và $N'$ sao cho $OM'.OM = ON'.ON = {R^2}$.
Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn $(O;r)$, hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 24/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 23/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+4y^{2}=5 & \\ 4xy+x+2y=7 & \end{matrix}\right.$
$$\frac{m^{2}x^{2}-(2m+5)x+1}{x-1}=0$$
a) Tam giác $BCD$ đồng dạng với tam giác $BPQ$
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KCP$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi
$$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq a^{2} +b^{2}+c^{2}$$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 23/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = 4\\ {x^3} - {y^3} = 8 \end{array} \right.$
Cho $m,n,k$ là các số nguyên thỏa mãn: ${m^2} + {n^2} = {k^2}$. Chứng minh tích $mn\,\, \vdots \,\,12$
2. Chứng minh rằng chỉ có 2 điểm nguyên thuộc đoạn $OM$
Cho $(O;R)$ tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $A,B$ là hai điểm cố định thuộc $(O;R),A \ne B$. Gọi $C$ là điểm thay đổi thuộc $(O;R)$ với $C \ne A, C \ne B$. Vẽ $(O_1)$ đi qua $A$ tiếp xúc với $BC$ tại $C$. Vẽ $(O_2)$ đi qua $B$ và tiếp xúc với $AC$ tại $C$. $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $D \ne C$.
2. Xác định vị trí điểm $C$ thỏa điều kiện đã cho để độ dài đoạn $CD$ lớn nhất .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán Ngày thi: 03/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) -------------------
|
Bài 1. (4,0 điểm)
Tìm hai số $x,y$ nguyên thoả mãn: $x^2-xy=7x-2y-15$
Bài 2. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}=\frac{2}{3}\\ (x+y)(1+\frac{1}{xy})=6\end{matrix}\right.$$
Bài 3. (5,0 điểm)
Cho hình thang $ABCD,\,(AB//CD)$. Trên đáy lớn $AB$ lấy điểm $M$ không trùng với các đỉnh. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $AC$ và $BD$, các đường thẳng này cắt hai cạch $BC, AD$ lần lượt tại $E$ và $F$. Đoạn $EF$ cắt $AC$ và $BD$ lần lượt tại $I$ và $J$. Gọi $H$ là trung điểm của $IJ$.
a. Chứng minh rằng: $FH=HE$
b. Cho $AB=2CD$. Chứng minh rằng: $EJ=JI=IF$
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ và một dây cung $AB,\,(O\not\in AB)$. Các tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn cắt nhau tại $C$. Kẻ dây cung $CD$ của đường tròn đường kính $OC,\,(D\neq A,B)$. Dây cung $CD$ cắt cung $AB$ của đường tròn $(O)$ tại $E\,\,$$(E$ nằm giữa $C$ và $D)$.
a. Chứng minh: $\widehat{BED}=\widehat{DAE}$
b. Chứng minh: $DE^2=DA.DB$
Bài 5. (2,0 điểm)
Cho $S=\frac{1}{\sqrt{1.2012}}+\frac{1}{\sqrt{2.2011}}+...+\frac{1}{\sqrt{k(2012-k+1)}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012.1}}, (k\in \mathbb{N};1\leq k\leq 2012)$
So sánh $S$ và $\frac{4024}{2013}$
Bài 6. (3,0 điểm)
Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thoả mãn $xyz=1.$ Chứng minh rằng: $\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}\geq \frac{3}{2}$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 23/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{\sqrt {x - 1} }}{{3 + \sqrt {x - 1} }} + \frac{{x + 8}}{{10 - x}}} \right):\left( {\frac{{3\sqrt {x - 1} + 1}}{{x - 3\sqrt {x - 1} - 1}} - \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)$
1. Rút gọn $P$
2. Tính giá trị của $P$ khi $x = \sqrt[4]{{\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{3 - 2\sqrt 2 }}}} - \sqrt[4]{{\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{3 + 2\sqrt 2 }}}}$
Trong cùng một hệ tọa độ, cho đường thẳng $d : y = x – 2$ và parabol $\left( P \right):y = - {x^2}$. Gọi $A$ và $B$ là giao điểm của $d$ và $(P)$
1. Tính độ dài $AB$
2. Tìm $m$ để đường thẳng $d’ : y = -x + m$ cắt $(P)$ tại hai điểm $C$ và $D$ sao cho $CD= AB$
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{y} + x = 2\\ \frac{{{y^2}}}{x} + y = \frac{1}{2} \end{array} \right.$
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB>AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC; H$ là trực tâm; $AD,BE,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$. Kí hiệu $(C_1)$ và $(C_2)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $DKE$, với $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh rằng:
1. $ME$ là tiếp tuyến chung của $(C_1)$ và $(C_2)$
2. $KH \bot AM$
Với $0 \le x,y,z \le 1$. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
$$\frac{x}{{1 + y + zx}} + \frac{y}{{1 + z + xy}} + \frac{z}{{1 + x + zy}} = \frac{3}{{x + y + z}}$$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 22/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để hai số $n + 26$ và $n – 11$ đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.
Giả sử $a$ là một nghiệm của phương trình $\sqrt 2 {x^2} + x - 1 = 0$. không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $$A = \frac{{2a - 3}}{{\sqrt {2(2{a^4} - 2a + 3)} + 2{a^2}}}$$
Bài 3. (4,0 điểm)
a. Giải phương trình: $\sqrt {8x + 1} = {x^2} + 3x - 1$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - {y^2} = 1\\xy + {x^2} = 2\end{array} \right.$
Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Qua điểm $M$ vẽ hai tiếp tuyến $MA, MB$ tới đường tròn ($A$ và $B$ là các tiếp điểm). Gọi $D$ là điểm di động trên cung lớn $AB$ ($D$ không trùng $A, B$ và điểm chính giữa của cung) và $C$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $MD$ với đường tròn $O;R)$.
a. Giả sử $H$ là giao điểm của các đường thẳng $OM$ với $AB$. Chứng minh rằng $MH.MO = MC.MD$, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác $HCD$ luôn đi qua một điểm cố định.
b. Chứng minh rằng nếu $AD$ song song với đường thẳng $MB$ thì đường thẳng $AC$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $MAB$.
c. Kẻ đường kính $BK$ của đường tròn $(O;R)$, gọi $I$ là giao điểm của các đường thẳng $MK$ và $AB$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBI$ theo $R$, khi biết $OM = 2R$.
Cho các số thực dương $a, b, c$ thoả mãn: $abc + a + b = 3ab$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt {\frac{{ab}}{{a + b + 1}}} + \sqrt {\frac{b}{{bc + c + 1}}} + \sqrt {\frac{a}{{ca + c + 1}}} \ge \sqrt 3 $$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 22/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Cho biểu thức: $P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)$
a. Rút gọn $P$
b. Tìm $m$ để với mọi giá trị $x > 9$ ta có $m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1$
Cho $abc = 1$ và ${a^3} > 36$. Chứng minh rằng: $$\frac{{{a^2}}}{3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca$$
Bài 3. (4 điểm)
Cho phương trình bậc hai: ${x^2} - 2m\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 7 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$, ($m$ là tham số)
a. Giải phương trình $(1)$ khi $m = 1$
b. Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn: ${x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 4$
Cho tam giác $ABC$ có $BC = 5a; CA = 4a; AB = 3a$, đường trung trực của đoạn $AC$ cắt đường phân giác trong của góc $BAC$ tại $K$.
a. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.
b. Gọi $(K)$ là đường tròn có tâm $K$ và tiếp xúc với đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng đường tròn $(K)$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
c. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn $AK$ cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$
Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố khác 0, $a \ne c$ thỏa mãn: $\frac{a}{c} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}}$. Chứng minh rằng ${{a^2} + {b^2} + {c^2}}$ không thể là một số nguyên tố.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 20/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered}
{x^3} + 1 = 2({x^2} - x + y) \\
{y^3} + 1 = 2({y^2} - y + x) \\
\end{gathered} \right.$
2. Cho phương trình: ${x^4} - 2m{x^2} + 2m - 1 = 0\,\,\,\,\,\,(1)$
Bài 2. (4,0 điểm)
Cho $(P):y = {x^2};(d):y = x + m$. Tìm $m$ để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho: tam giác $OAB$ là tam giác vuông.
Bài 3. (4,0 điểm)
1. Cho 4 số $a, b, c, d$ thoả điều kiện $a + b + c + d = 2$. Chứng minh: ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 1$
2. Cho và ${a^3} - 3{a^2} + 3a(m + 1) - {(m + 1)^2} = 0$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $a$.
Bài 4. (3,0 điểm)
Chứng minh rằng: ${2^2} + {4^2} + {6^2} + ... + {(2n)^2} = \frac{{2n(n + 1)(2n + 1)}}{3};n \in \mathbb{Z},n \geqslant 1$
Bài 5. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có các phân giác trong của các góc nhọn $\widehat {BAC,}\widehat {ACB},\widehat {CBA}$ theo thứ tự cắt các cạnh đối tại các điểm $M, P, N$. Đặt $a =BC, b =CA, c =AB;$ ${S_{\Delta MNP}},{S_{\Delta ABC}}$ theo thứ tự là diện tích của tam giác $MNP$ và $ABC$.
1. Chứng minh rằng: $\frac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$
2. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của $\frac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
a. Cho $a$ và $b$ là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện ${a^2} + {b^2}\,\, \vdots \,\,7$. Chứng minh rằng $a$ và $b$ đều chia hết cho 7.
b. Cho $A = {n^{2012}} + {n^{2011}} + 1$. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $A$ nhận giá trị là một số nguyên tố.
Bài 2. (4,5 điểm)
a. Giải phương trình: $\frac{4}{x} + \sqrt {x - \frac{1}{x}} = x + \sqrt {2x - \frac{5}{x}}$
$$M = \frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{zx}}{{{y^2}}} + \frac{{xy}}{{{z^2}}}$$
Bài 3. (4,5 điểm)
a. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x + y + z + xy + yz + zx = 6$. Chứng minh rằng:
$${x^2} + {y^2} + {z^2} \geqslant 3$$
b. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}}$$
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn $(O;R)$ và một dây $BC$ cố định không đi qua $O$. Từ một điểm $A$ bất kì trên tia đối của tia $BC$ vẽ các tiếp tuyến $AM,AN$ với đường tròn ($M$ và $N$ là các tiếp điểm, $M$ nằm trên cung nhỏ $BC$). Gọi $I$ là trung điểm của dây $BC$, đường thẳng $MI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $P$.
a. Chứng minh rằng $NP//BC$.
b. Gọi giao điểm của đường thẳng $MN$ và đường thẳng $OI$ là $K$. Xác định vị trí của điểm $A$ trên tia đối của tia $BC$ để tam giác $ONK$ có diện tích lớn nhất.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán Ngày thi: 18/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (3 điểm)
Rút gọn biểu thức sau: $$A = \left( {\sqrt {\sqrt 3 + 2 - \sqrt {31 - 12\sqrt 3 } } - \sqrt 3 } \right):\left( {\sqrt[3]{{5\sqrt 2 + 7}} - \sqrt[3]{{5\sqrt 2 - 7}}} \right)$$
Bài 2. (3 điểm)
Chứng minh rằng nếu hai phương trình ${x^2} + bx + c = 0;{x^2} + 3bx + 3c = 0$ có nghiệm thì phương trình ${x^2} + 2bx + 2c = 0$ có nghiệm.
Bài 3. (4 điểm)
Cho hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 1} \right)y = m - 37\\
x + 2y = 3m + 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{với m là tham số}$$
a. Với $m$ nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b. Tìm $m$ nguyên để hệ phương trình có nghiệm $x,y$ nguyên và $x+y$ bé nhất.
Bài 4. (4 điểm)
a.Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ thì $$\frac{{{a^4} + {b^4}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^4}$$
Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào.
b. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $$P\left( x \right) = {x^4} - 8{x^2} - x + 12$$
Bài 5. (6 điểm)
Gọi $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm của các cung $BC,CA,AB$ không chứa các điểm $A,B,C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. BC cắt $A'C'$ và $A'B'$ tại $M$ và $N$; $CA$ cắt $A'B'$ và $B'C'$ tại $P$ và $Q$; $AB$ cắt $B'C'$ và $A'C'$ tại $R$ và $S$.
a. Chứng tỏ rằng $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $I$.
b. Chứng minh rằng $IQAR$ là hình thoi.
c. Tìm điều kiện của tam giác $ABC$ để $MN=PQ=RS$.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán Ngày thi: 18/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (4 điểm)
a. Rút gọn biểu thức sau: $A = \sqrt {\frac{{8 + \sqrt {15} }}{2}} + \sqrt {\frac{{8 - \sqrt {15} }}{2}} $
b. Giải phương trình: $\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} + {x^2} - 16 = 0$
Bài 2. (4 điểm)
a. Chứng minh rằng ${n^3} - n$ chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên $n$ lẻ.
b. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $${a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}$$
Chứng minh rằng nếu $c \geqslant a$ và $c \geqslant b$ thì $c \geqslant a+b$
Bài 3. (3 điểm)
Cho phương trình ${x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 6 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ sao cho biểu thức $A = \left( {x_1^2 - 9} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4. (6 điểm)
a. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat {BAC} = {20^0},AB = AC = b$ và $BC=a$. Chứng minh rằng: $${a^3} + {b^3} = 3a{b^2}$$
b. Cho hai điểm $A, B$ thuộc đường tròn $(O)$ ($AB$ không qua $O$) và có hai điểm $C, D$ di động trên cung lớn $AB$ sao cho $AD // BC$ ($C, D$ khác $A, B$ và $AD > BC$). Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $AC$. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ và $D$ cắt nhau tại $I$
b.1. Chứng minh ba điểm $I, O, M$ thẳng hàng.
b.2. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCD$ không đổi.
Bài 5. (3 điểm)
Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $xy = 1$. Chứng minh rằng $$\left( {x + y + 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{4}{{x + y}} \geqslant 8$$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH LONG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán Ngày thi: 18/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (2 điểm)
Tìm các số tự nhiên có hai chữ số, biết số đó chia cho tổng các chữ số của nó được thương là 4 và số dư là 3.
Bài 2. (6 điểm)
Giải các phương trình sau:
a. ${x^3}\left( {{x^3} + 7} \right) = 8$
b. $\sqrt {3x + 1} = \sqrt {x + 4} + 1$
c. $2\left| {x + 2} \right| + \left| {x - 1} \right| = 5$
Bài 3. (3 điểm)
Cho Parabol $(P):y = 2{x^2}$. Trên $(P)$ lấy điểm $A$ có hoành độ bằng 1, điểm $B$ có hoành độ bằng 2. Tìm $m$ và $n$ để đường thẳng $\left( d \right):y = mx + n$ tiếp xúc với parabol $(P)$ và song song với đường thẳng $AB$.
Bài 4. (3 điểm)
Cho phương trình bậc hai ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 10 = 0$, với $m$ là tham số thực.
a.Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$
b. Tìm $m$ để biểu thức $P = 6{x_1}{x_2} + x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5. (4 điểm)
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Các cạnh $AB,BC,CA$ lần lượt tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $D,E,F$.
a. Chứng minh $DF//BC$ và ba điểm $A,O,E$ thẳng hàng, với $O$ là tâm của đường tròn $(O)$.
b. Gọi giao điểm thứ hai của $BF $ với đường tròn $(O)$ là $M$ và giao điểm của $DM$ với $BC$ là $N$. Chứng minh tam giác $BFC$ đồng dạng với tam giác $DNB$ và $N$ là trung điểm của $BE$.
c. Gọi $(O')$ là đường tròn qua ba điểm $B,O,C$. Chứng minh $AB,AC$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(O')$.
Bài 6. (2 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có $BC = a,AC = b,AB = c$. Gọi ${h_a},{h_b},{h_c}$ lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh $a,b,c$. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$ biết ${h_a}+{h_b}+{h_c}=9r$, với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán. Ngày thi: 16/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (5 điểm)
Cho biểu thức : $P= \frac{a^{2}-\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}-\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+\frac{a-4}{\sqrt{a}-2}$
1. Rút gọn $P$.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.
Bài 2. (5 điểm)
Giải các phương trình sau:
1. $2x^{3}-x^{2} +\sqrt[3]{2x^{3}-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^{2}+2}$
2. $x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$; (với $x;y$ nguyên)
Bài 3. (4 điểm)
Cho đường tròn $\left ( O;R \right )$. Đường thẳng $d$ không đi qua $O$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $A$ và $B$. Từ một điểm $M$ tuỳ ý trên đường thẳng $d$ và ở ngoài đường tròn $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $MN$ và $MP$ với đường tròn $(O)$, ( $N,P$ là hai tiếp điểm).
1. Dựng vị trí điểm $M$ trên đường thẳng $d$ sao cho tứ giác $MNOP$ là hình vuông.
2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm $M, N, P$ luôn chạy trên đường thẳng cố định khi $M$ di chuyển trên đường thẳng $d$.
Bài 4. (4 điểm)
1.
a) Tìm giá trị lớn nhất của: $y= \left | x \right |\sqrt{9-x^{2}}$
b) Cho $x, y, z$ là những số thực dương thoả mãn điều kiện: $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P= \frac{1}{x^{3}\left ( y+z \right )}+\frac{1}{y^{3}\left ( x+z \right )}+\frac{1}{z^{3}\left ( x+y \right )}$$
2. Cho 3 số $a,b,c$ thoả mãn: $a+b+c=1 ; a^{2}+b^{2}+c^{2}=1; a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$. Chứng minh rằng: $$a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=1\,\,\,\,\,\text{với}\,\,\,\,\,\, n\in \mathbb{N^*}$$
Bài 5. (2 điểm)
Cho $\bigtriangleup ABC$ thay đổi có $AB=6$ và $AC=2BC$. Tìm giá trị lớn nhất của $S_{\bigtriangleup ABC}$.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán Ngày thi: 16/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Câu 1. (3,0 điểm)
Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích. Tìm độ dài cách cạnh của tam giác đó.
Câu 2. (3,0 điểm)
Cho biểu thức: $P=\sqrt{1-x+(1-x) \sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1-x-(1-x) \sqrt{1-x^2}}$ với $x \in [-1;1]$. Tính giá trị biểu thức $P$ với $x=\frac{-1}{2012}$.
Câu 3. (3,0 điểm)
Tìm số thực $x, y$ thỏa mãn: $(x^2+1)^2y^2+16x^2+\sqrt{x^2-2x-y^3+9}=8x^3y+8xy$
Câu 4. (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho Parabol $(P):y = {x^2}$ và hai điểm $A( - 1;1),B(3;9)$ nằm trên $(P)$. Gọi $M$ là điểm thay đổi trên $(P)$ và có hoành độ là $m\,\,\left( { - 1 < m < 3} \right)$. Tìm $m$ để diện tích tam giác $ABM$ lớn nhất.
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp ($O;R$). Gọi $I$ là điểm bất kì trong tam giác $ABC$ ($I$ không nằm trên các cạnh của tam giác). Các tia $AI, BI, CI$ cắt lần lượt $BC, CA, AB$ tại $M, N$ và $P$.
a) Chứng minh: $\frac{AI}{AN}+\frac{BI}{BN}+\frac{CI}{CN} =2$.
b) Chứng minh: $\frac{1}{AM.BN}+\frac{1}{BN.CP}+\frac{1}{CP.AM} \geq \frac{4}{3(R-OI)^2}$.
Câu 6. (3,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ tù, nội tiếp $(O;R)$. Gọi $x, y, z$ là khoảng cách từ $O$ đến các cạnh $BC, CA, AB$ và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh $y+z-x=R+r$.
Câu 7. (2,0 điểm)
Cho $x,y$ thỏa mãn $x, y \in R$ và $0 \leq x,y \geq \frac{1}{2}$. Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x} \leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
No comments:
Post a Comment