Sunday, April 8, 2012

Đề thi môn Toán Olympic 30/4 lần thứ 18 năm 2012 tại Vũng Tàu

tuyensinhvnn xin giới thiệu các đề thi Olympic 30/4 môn Toán năm 2012. Kì thi diễn ra ngày từ 6-8/04/2012 tại tại trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu. Kết quả cao nhất thuộc về trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM. Các bạn có thể download đáp án và kết quả thi trong phần comment/ nhận xét cuối bài viết.

Đề thi Olympic 30/4 lần thứ 18 năm 2012 môn Toán lớp 11

Bài 1.
Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} x^3-y^3=9\\ 2x^2+y^2-4x+y=0\end{cases}$

Bài 2.
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $x_1; x_{n+1}=\frac{x_n^4+9}{x_n^3-x_n+6}$
a) Chứng minh rằng $\lim x_n=+\infty$
b) Với mỗi số nguyên dương $n$ đặt $y_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k^3+3}$

Bài 3.
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ tâm $G$. Một đường $d$ thay đổi luôn đi qua $G$ và cắt các đường thẳng $BC, CA, AB$ lần lượt tại $M, N, P$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=GM.GN.GP$.

Bài 4.
Tìm tất cả các cặp hàm số $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa các điều kiện sau:
i) $f(0)=g(0)=1; g(1)=2$
ii) $f(x)-f(y)=(x-y)g(x+y)$

Bài 5.
Một số nguyên dương $n>1$ được gọi là hoàn toàn không chính phương nếu $n$ không có ước chính phương khác 1. Chứng minh rằng nếu $n$ là hợp số và $n-1$ chia hết cho $\varphi (n)$ thì $n$ hoàn toàn không chính phương và $n$ có ít nhất là 3 ước nguyên tố (trong đó $\varphi (n)$ là các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$).

Bài 6.
Trên mỗi ô của một bảng 4x4 ô vuông, người ta điền một trong hai số $1$ hoặc $-1$ sao cho tổng các số trong mỗi hàng và trong mỗi cột đều bằng $0$. Hỏi có bao nhiêu cách điền như trên?

----Hết----


Đề thi Olympic 30/4 lần thứ 18 năm 2012 môn Toán lớp 10

Câu 1: Giải phương trình $ 7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4} $.

Câu 2: Cho đường tròn (O) tiếp xúc đường thẳng d tại H. M và N di động trên d thỏa $ \overline{HM}.\overline{HN}=-k^2 $ (k là số khác 0 cho trước). Từ M và N kẻ tiếp tuyến MA, NB tới (O) (A, B là tiếp điểm khác H).

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua 1 điểm cố định.

b) Chứng minh đường thẳng AB qua 1 điểm cố định.

Câu 3: Cho a, b, c dương thỏa $a^2+b^2+c^2 \le 3 $. Chứng minh $$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}+\frac{c} {\sqrt{b+a}} \ge \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c) $$

Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên tố p không tồn tại x, y nguyên dương thỏa $2^p+3^p=x^{y+1} $.

Câu 5: Cho hình vuông kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị. Hỏi có thể viết các số 1; 2; 3; 4; ... ; 64 vào 64 ô vuông (mỗi ô chứa đúng 1 số) sao cho tổng của 4 số nằm trong 4 ô của 1 hình bất kì (đính kèm) sau đây đều chia hết cho 4?

Câu 6: Tìm hàm số $f:Q \rightarrow R $ thỏa $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y); \forall x, y \in Q $.

No comments:

Post a Comment