tuyensinhvnn xin giới thiệu đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự kì thi Olympic Toán quốc tế lần thứ 53 năm 2012 (Vietnam Team Selection Test 2012) sẽ diễn ra ở Argentina từ 4. 7 đến 16. 7. 2012. Download file PDF trong phần comments cuối bài viết.
Ngày thi thứ nhất 16/04/2012
Bài 1. (7,0 điểm) Cho đường tròn $(O)$ và 2 điểm cố định $B,C$ trên đường tròn sao cho $BC$ không là đường kính của $(O)$, $A$ là một điểm di động trên đường tròn, $A$ không trùng với $B,C$. Gọi $D,K,J$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$ và $E,M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B,C$ trên $BC, DJ, DK$. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại $M,N$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $EMN$ luôn cắt nhau tại $T$ cố định khi A thay đổi.
Bài 2. (7,0 điểm) Trên một cánh đồng hình chữ nhật kích thước $m\times n$ ô vuông gồm $m$ hàng và $n$ cột người ta đặt một số máy bơm nước vào các ô vuông. Biết rằng mỗi máy bơm nước có thể tưới nước cho các ô vuông có chung cạnh với nó và các ô vuông cùng cột với nó và cách nó đúng một ô vuông. Tìm số nhỏ nhất các máy bơm nước sao cho các máy bơm nước có thể tưới hết cả cánh đồng trong 2 trường hợp:
a) $m=4$
b) $m=3$
a) $m=4$
b) $m=3$
Bài 3. (7,0 điểm) Cho số nguyên tố $p\ge 17$. Chứng minh rằng $t=3$ là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn điều kiện: Với các số nguyên bất kì $a,b,c,d$ sao cho $abc$ không chia hết cho $p$ và $a+b+c$ chia hết cho $p$ thì tồn tại các số nguyên $x,y,z$ thuộc tập $\{0;1;...;\left[\frac{p}{t}\right]-1\}$ sao cho $ax+by+cz+d\vdots p$.
Ngày thi thứ hai 17/04/2012
Bài 4. (7,0 điểm)
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $$x_1=1,x_2=2011,x_{n+2}=4022x_{n+1}-x_n,\forall n\in \mathbb N$$
Chứng minh rằng $\frac{x_{2012}+1}{2012}$ là số chính phương.
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $$x_1=1,x_2=2011,x_{n+2}=4022x_{n+1}-x_n,\forall n\in \mathbb N$$
Chứng minh rằng $\frac{x_{2012}+1}{2012}$ là số chính phương.
Bài 5. (7,0 điểm)
Chứng minh rằng $c=10\sqrt{24}$ là hằng số lớn nhất thỏa mãn điều kiện: nếu có các số dương $a_1,a_2,...a_{17}$ sao cho: $$\sum_{i=1}^{17}{a_i^2}=24;\quad \sum_{i=1}^{17}{a_i^3}+\sum_{i=1}^{17}{a_i}<c$$ thì với mọi $i,j,k$ thỏa mãn $1\le i<j<k\le 17$, ta luôn có $a_i,a_j,a_k$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 6. (7,0 điểm)Chứng minh rằng $c=10\sqrt{24}$ là hằng số lớn nhất thỏa mãn điều kiện: nếu có các số dương $a_1,a_2,...a_{17}$ sao cho: $$\sum_{i=1}^{17}{a_i^2}=24;\quad \sum_{i=1}^{17}{a_i^3}+\sum_{i=1}^{17}{a_i}<c$$ thì với mọi $i,j,k$ thỏa mãn $1\le i<j<k\le 17$, ta luôn có $a_i,a_j,a_k$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Có $42$ học sinh tham dự kì thi chọn đội tuyển Olympic toán quốc tế. Biết rằng một học sinh bất kì quen đúng $20$ học sinh khác. Chứng minh rằng ta có thể chia $42$ học sinh thành $2$ nhóm hoặc $21$ nhóm sao cho số học sinh trong các nhóm bằng nhau và $2$ học sinh bất kì trong cùng nhóm thì quen nhau.
No comments:
Post a Comment