Monday, April 30, 2012

Đề thi học kỳ 2 môn Toán 2012 lớp 12 của trường Hà Nội Amsterdam

tuyensinhvnn xin giới thiệu Đề thi học kỳ 2 môn Toán 2012 lớp 12 của trường Hà Nội Amsterdam với đáp án chi tiết.
Đề thi gửi đến tuyensinhvnn bởi thầy Ngô Văn Quốc. Xin cảm ơn thầy.
Xem và download trong phần comment cuối bài viết.

[Thông báo] Tuyển sinh Thi thử lần 3 trên tuyensinhvnn và một số thống kê về thi thử lần 2

Kỳ thi thử lần 2 năm 2012 trên tuyensinhvnn đã diễn ra trong khá thành công. Đề thi môn Toán được nhiều người đánh giá hay, yêu cầu kĩ thuật tính toán cao và có nhiều chỗ nếu không cẩn thận sẽ dẫn tới ngộ nhận. Ban tổ chức đang chấm bài thi và sẽ công bố điểm thi vào ngày thứ 5. Bạn có số tờ giấy thi nhiều nhất là 7 tờĐiểm cao nhất sau ngày chấm đầu tiên là 7,25 của một bạn học sinh trường THPT Quốc Học. Theo dự đoán đây là thí sinh có điểm cao nhất đợt thi này. Do đợt thi trúng vào các ngày lễ nên nhiều thí sinh không đến dự thi.

Một số hình ảnh của kì thi lần 2.

Kế hoạch thi thử lần 3 môn Toán:

  • 7h30 ngày 06/05/2012 thi thử môn Toán tại 57 Lâm Hoằng, Huế.

Phiếu dự thi có bán tại 49 Lê Lợi và 54 Tùng Thiện Vương, thành phố Huế từ 30/4 đến 5/5/2012. Nhiều bạn đã mua phiếu ngay sau khi thi xong môn Toán.

Lệ phí: 20.000VND/1 người.

Thông tin về đường đi xem ở đây.

Giải đáp thắc mắc và đặt phiếu: supporttuyensinhvnn.com
Điện thoại: 01293997872

Cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng: Trong quá trình tổ chức thi có một số lỗi phát sinh ngoài ý muốn. Chúng tôi xin gửi lời xin lỗi đến các thí sinh tham gia thi và sẽ khắc phục ngay. Rất mong các bạn tiếp tục ủng hộ tuyensinhvnn.

Đề thi thử Hóa Lý lần 5 tại Đại học Sư phạm Hà Nội 2012

tuyensinhvnn đã giới thiệu đề thi thử môn Toán lần 5 của ĐH Sư phạm Hà Nội ở đây.

Tiếp theo tuyensinhvnn xin giới thiệu đề thi thử LÝ và Hóa Lần 6 của ĐH Sư phạm Hà Nội. Tất cả đều có đáp án.

Download tài liệu trong phần comments/nhận xét cuối bài viết.

Sunday, April 29, 2012

Trường hè 2012 tại Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán

Trong tháng bảy và tháng tám, GS Ngô Bảo Châu sẽ tổ chức một lớp học về lý thuyết số ở Viện Nghiên cứu cao cấp về toán (VIASM). Các học viên sẽ tự đọc tài liệu, tự trình bày rồi cả lớp sẽ cùng thảo luận. Lớp học sẽ bắt đầu từ những bài toán với phát biểu tương đối sơ cấp trong số học và tìm hiểu phương pháp giải tích để giải quyết những bài toán đó. Tài liệu tham khảo là cuốn sách Introduction to analytic number theory của Chandrasekharan. Đối tượng của lớp học là sinh viên khoa toán những năm cuối.

Cũng về số học, ở VIASM sẽ có sinh hoạt chuyên đề về công trình gần đây của Bhargava về hạng trung bình của đường cong elliptic. Tuy phương pháp của Bhargava tương đối sơ cấp, seminar chắc chắn sẽ khó theo hơn lớp học.

Bạn cần đăng ký bằng cách gửi email về địa chỉ hoche.viasm at gmail.com. Các bạn ở tỉnh xa có thể đề nghị VIASM hỗ trợ kinh phí đi lại ăn ở. Trong thư, ngoài tên tuổi, địa chỉ, trường học, bạn sẽ trả lời ba câu hỏi :

1) Học hè : Y/N. 2) Seminar : Y/N. 3) Hỗ trợ : Y/N

gửi kèm bảng điểm và thư giới thiệu của giáo viên. Vì kinh phí chung cũng như sức chứa của phòng học đều hạn chế, không phải tất cả những người đăng ký đều sẽ được nhận đến học (hoặc được hỗ trợ kinh phí).

Hạn cuối cùng để đăng ký là 15/5. Tôi sẽ lên danh sách lớp trước ngày 20/5.

Sau khi lên danh sách lớp, GS Châu sẽ gửi tài liệu và phân bài cho các bạn cùng đọc.

(Thông báo này tạm đăng ở đây trong khi chờ trang mạng mới của VIASM đi vào hoạt động).

Nguồn: http://ngobaochau.wordpress.com/

Saturday, April 28, 2012

Đề thi học kỳ 2 môn Toán năm 2012 tỉnh Bến Tre lớp 12

tuyensinhvnn xin giới thiệu Đề thi học kỳ 2 môn Toán lớp 12 THPT năm 2012 tỉnh Bến Tre. Đề thi có đáp án và thang điểm chi tiết.

Đề thi được chia sẻ bởi bạn Bùi Hữu Nhân, là học sinh lớp 12 trường THPT Chuyên Bến Tre. tuyensinhvnn xin chân thành cảm ơn bạn. Chúc bạn thành công.



Download đề thi và đáp án trong phần comments cuối bài viết.

Thursday, April 26, 2012

Đề thi Học kì 2 môn Toán lớp 12 tỉnh Thừa Thiên Huế

tuyensinhvnn xin giới thiệu Đề thi Học kì 2 môn Toán Lớp 12 THPT tỉnh Thừa Thiên Huế thi sáng ngày 27 tháng 4 năm 2012.


Đề thi được gửi đến tuyensinhvnn bởi thầy Trần Minh Tâm. Xin chân thành cảm ơn thầy.

Đáp án sẽ được cập nhật trong phần comments/nhận xét cuối bài viết (nếu có).

Wednesday, April 25, 2012

Kết quả Thi thử lần 1 môn Toán trên tuyensinhvnn ngày 22/4/2012

Sau một thời gian làm việc nghiêm túc và khẩn trương ban chấm thi của tuyensinhvnn đã hoàn thành công việc của mình.

Thí sinh có điểm cao nhất là bạn Hồ Thị Kim Chi đên từ trường THPT chuyên Quốc Học với 9,75 điểm. Các thí sinh có điểm cao thứ hai và thứ ba lần lượt thuộc về các bạn Hoàng Ngọc Sơn (THPT chuyên Quốc Học, 9 điểm) và Hoàng Ngọc Anh Thư (THPT Hai Bà Trưng, 8,25 điểm). Có rất nhiều bạn được 8 điểm nên chỉ có ba bạn trên nhận được các phần quà của tuyensinhvnn. Các bạn hãy liên hệ với ban tổ chức sau buổi thi thứ hai sáng ngày 29/4/2012 để nhận quà nhé.

Lưu ý: Các bạn muốn nhận lại bài thi thì hãy mang theo phiếu dự thi lần 1 và liên hệ với ban tổ chức sau buổi thi môn toán lần thứ 2 sáng ngày 29/4/2012 tại các địa điểm thi.

Sau đây là kết quả thi thử lần 1 diễn ra ngày 22/4/2012.



PS: Có nhiều bạn không đến dự thi nên nhiều số báo danh đã được thay đổi.

Đáp án Đề thi thử lần 1 của tuyensinhvnn năm 2012 dành cho thí sinh. Để giúp thí sinh hạn chế sai sót khi làm bài đợt 2, đợt 3... cuối phần đáp án là một số sai lầm thí sinh RẤT hay gặp khi làm bài thi đợt 1. Chọn chế độ Fullscreen để xem rõ hơn.

Đề thi thử lần 4 Đại học Sư phạm Hà Nội 2012 Toán Hoá Lý

tuyensinhvnn xin giới thiệu các đề thi thử lần 4 môn Toán, Lý, Hoá của khối chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2012.

Các bạn có thể tải về trong phần nhận xét cuối bài viết.

Xem thêm:

Đề thi thử lần 5 của ĐHSP Hà Nội năm 2012

Đề thi thử lần 3 của ĐHSP Hà Nội năm 2012

Đề lần 1 và lần 2: Search trong ô tìm kiếm trên tuyensinhvnn.



Đề thi Cao học Toán Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2012

tuyensinhvnn xin giới thiệu Đề thi Cao học Toán Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2012.

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH

I/ Lý thuyết
Câu 1:
a/ Định nghĩa tập compact trong không gian metric. Cho ví dụ về tập compact.
b/ Phát biểu và chứng minh đặc trưng Heine - Borel về tập compact.
Câu 2:
Định nghĩa toán tử tuyến tính liên tục giữa hai không gian định chuẩn. Phát biểu và chứng minh các điều kiện tương đương để một toán tử tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn là liên tục.
Câu 3:
Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại phép chiếu trực giao.
II/ Bài tập
Câu 1:
Giả sử $f: X \to Y$ là ánh xạ liên tục đều từ không gian
metric $X$ vào không gian metric $Y$. Chứng minh nếu $A \subset X$ là tập hoàn toàn bị chặn thì $f(A)$ là tập hoàn toàn bị chặn trong $Y$.
Câu 2:
Cho $f$ là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn $E$ vào không gian định chuẩn $F$. Chứng minh rằng $f$ liên tục khi và chỉ khi mọi dãy $\{x_n\} \subset E$ mà $x_n \to 0$ thì $\{f(x_n)\}$ bị chặn.
Câu 3:
Giả sử $E$ là không gian Hilbert và $A: E \to E$ là toán tử tuyến tính. Chứng minh nếu có đẳng thức
$\langle Ax,y \rangle =\langle x,Ay \rangle$, với mọi $x,y \in E $ thì $A$ liên tục.
Câu 4:
Giả sử $E$ là không gian Banach vô hạn chiều và $A$ là toán tử compact từ $E$ vào không gian định chuẩn $F$. Chứng minh tồn tại dãy $\{x_n\} \subset E$, $\|x_n\|=1$ sao cho $\lim_{n \to \infty} A(x_n)=0$.

ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ.

Tiếp tục cập nhật.

File download sẽ được cập nhật trong phần comments (nếu có).

Tuesday, April 24, 2012

Đề thi thử Đại học lần 5 Sư phạm Hà Nội môn Toán 2012

tuyensinhvnn xin giới thiệu Đề thi thử Đại học lần 5 của khối THPT chuyên Sư phạm Hà Nội môn Toán 2012 (có đáp án).

Đề thi các môn Lý Hóa có đáp án: Download..

Tải về Đề thi thử lần 5 trong phần comment cuối bài viết.

Một số Đề thi Học kì 2 môn Toán 2012 tại TP. HCM

tuyensinhvnn xin giới thiệu một số đề thi Học kì 2 môn Toán năm 2012 của các trường tại Thành phố Hồ Chí Minh.

Đề thi Toán 12 của trường THPT GIA ĐỊNH TP.HCM. Chia sẻ bởi thầy Trần Trọng Trị.
Đề thi Toán 12 của trường Phổ thông năng khiếu, ĐH Quốc gia TP.HCM. Chia sẻ bởi cô Mai Thị Thu.
Tiếp tục cập nhật.

Sunday, April 22, 2012

[Thông báo] Chiêu sinh thi thử Đại học lần 2 năm 2012 và một số hình ảnh lần thi thứ nhất

Kỳ thi thử lần 1 năm 2012 trên tuyensinhvnn đã diễn ra trong không khí nghiêm túc. Đề thi được nhiều bạn thí sinh đánh giá là vừa sức. Ban tổ chức đang chấm bài thi và sẽ công bố điểm thi vào ngày thứ 5. Điểm cao nhất sau ngày chấm đầu tiên là 7,25 của một bạn học sinh trường THPT Nguyễn Huệ. Bên cạnh các thí sinh ở thành phố, chúng tôi cũng rất bất ngờ khi nhiều bạn từ các huyện lân cận cũng đến dự thi và đã đăng kí thi các lần sau. Các bạn vừa giành giải học sinh giỏi quốc gia của trường THPT chuyên Quốc Học cũng đến tham gia thi thử. tuyensinhvnn xin hé lộ một số hình ảnh của đợt thi thứ nhất ngày 22/4/2012


Kế hoạch thi thử lần 2 Toán Lý Hóa:

  • 7h30 29/4/2012 thi thử môn Toán tại 57 Lâm Hoằng, Huế.
  • 7h30 30/4/2012 thi thử môn Vật Lý.
  • 9h30 30/4/2012 thi thử môn Hóa học.

Phiếu dự thi có bán tại 49 Lê Lợi và 54 Tùng Thiện Vương, thành phố Huế từ 22/4 đến 26/4/2012. Chỉ còn 100 phiếu.

Lệ phí: 20.000VND/1 môn. Đặc biệt 50.000VND/3 môn.

Thông tin về đường đi xem ở đây.

Giải đáp thắc mắc và đặt phiếu: supporttuyensinhvnn.com
Điện thoại: 01293997872

Saturday, April 21, 2012

Dùng dãy số để chứng minh bất đẳng thức

Các bài toán bất đẳng thức trong tài liệu này còn được giải bằng cách vận dụng "Phương pháp ABC" (một phương pháp mới, được đưa ra bởi Nguyễn Anh Cường), tuy nhiên khi đi thi Học sinh giỏi Quốc gia, nếu làm theo cách này thì phải chứng minh nhiều Định lí, Hệ quả phức tạp, điều đó không thích hợp do thời gian hạn hẹp trong phòng thi. Còn nếu giải theo phương pháp dùng giới hạn dãy số như ở trên thì ta chỉ cần chứng minh kết quả $p^3 - 4pq + 9r \ge 0$, điều này rất ngắn gọn, đơn giản, chỉ vài dòng là xong.

Tài liệu này dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi. Tập tài liệu về "Dùng dãy số để chứng minh bất đẳng thức" do thầy Nguyễn Tài Chung, Giáo viên THPT Chuyên Hùng Vương Gia Lai biên soạn và gửi tặng tuyensinhvnn.

Tải về tài liệu trong phần comments cuối bài viết.

Friday, April 20, 2012

Đề thi thử ĐH Toán của trường Nguyễn Đức Mậu Nghệ An 2012

Đề thi thử ĐH môn Toán lần 2 năm 2012 của trường THPT Nguyễn Đức Mậu, Nghệ An có đáp án thang điểm chi tiết. Đề thi hay với nhiều dạng toán mới, các câu hỏi có vấn đề.

Cảm ơn thầy Hồ Đức Vượng, trường THPT Nguyễn Đức Mậu - huyện Quỳnh Lưu, tỉnh Nghệ An đã tặng tuyensinhvnn.COM.
Tải về file PDF trong phần comments cuối bài viết.

Đề thi học kỳ 2 môn Toán lớp 12 năm 2012 An Giang, Đồng Tháp

tuyensinhvnn xin giới thiệu Đề thi học kỳ 2 môn Toán lớp 12 năm 2012 của các tỉnh An Giang, Đồng Tháp.

Hai đề đều có đáp án và thang điểm chi tiết.

Đề thi học kì 2 năm 2012 các tỉnh khác sẽ được tuyensinhvnn cập nhật nếu có điều kiện.

Tải về trong mục comments/ nhận xét cuối bài viết.

Thursday, April 19, 2012

Ngô Bảo Châu trở thành Viện sĩ Viện Hàn lâm Hoa Kỳ

Ngô Bảo Châu là một trong số 220 viện sĩ mới của Viện Hàn lâm Mỹ thuật và Khoa học Hoa Kỳ. Đây là những học giả, các nhà khoa học, nhà văn, nghệ sĩ, doanh nghiệp, và các nhà từ thiện, lãnh đạo… danh tiếng của thế giới.

Danh sách các viện sĩ mới gồm các học giả trong nước và quốc tế, Nghệ sĩ, nhà khoa học, nhà văn và các chuyên gia khác bao gồm cả sử gia David W. Blight, nhà nghiên cứu núi lửa Katharine V. Cashman, nhà toán học Ngô Bảo Châu, diễn viên và đạo diễn Clint Eastwood, nhạc sĩ Sir Paul McCartney, nhà viết kịch Neil Simon, và Mezzo-soprano Frederica von Stade...

Viện Hàn lâm Mỹ thuật và Khoa học Mỹ vừa công bố danh sách trúng cử gồm 220 viện sĩ mới, gồm các học giả, các nhà khoa học, nhà văn, nghệ sĩ, doanh nghiệp, và các nhà từ thiện, lãnh đạo… danh tiếng của thế giới.

Là một tổ chức có uy tín, Học viện cũng là một trung tâm hàng đầu cho các công trình nghiên cứu chính sách độc lập. Các thành viên đóng góp cho Viện Hàn lâm các ấn phẩm, công trình nghiên cứu khoa học và chính sách công nghệ, năng lượng và an ninh toàn cầu, chính sách xã hội, các nghiên cứu về con người, văn hóa, và giáo dục…

"Được bầu vào Học viện vừa là vinh dự cho thành viên với việc ghi nhận các thành tựu nghiên cứu, đồng thời cũng nhằm kêu gọi các thành viên cống hiến", Giám đốc Viện Hàn lâm Leslie C. Berlowitz nói, "Chúng tôi mong muốn thu nhận kiến ​​thức và chuyên môn của các viện sĩ để đối mặt với những thách thức hôm nay".

Các viện sĩ năm 2012 bao gồm những người giành Giải thưởng Quốc gia về Khoa học, như giải thưởng Lasker, Pulitzer và giải thưởng Shaw, huy chương Fields, học bổng MacArthur và Bằng Danh dự Guggenheim Kennedy; các giải Grammy, Emmy, giải thưởng Tony, Avery Fisher.v.v…

Các nhà khoa học trong danh sách viện sĩ mới gồm: James Fraser Stoddart, một nhà hóa học có công giúp thiết lập các lĩnh vực của công nghệ nano; Angela M. Belcher, người sử dụng chỉ dẫn quá trình tiến hóa để tạo ra vật liệu mới ứng dụng trong ngành điện tử, năng lượng, và y học, địa chất; nhà khoa học Katharine V. Cashman, người đã giải thích lý do tại sao núi lửa phun trào; nhà thiên văn học Debra Fischer A., ​​người đã khám phá ra hơn 200 hệ thống hành tinh, Robert P. Colwell, người thiết kế bộ vi xử lý Pentium (Intel); nhà toán học Ngô Bảo Châu (Việt Nam), người giành Giải thưởng Fields…
Trong lĩnh vực báo chí và công chúng, các thành viên mới gồm: chuyên gia nghiên cứu tính bền vững Kamaljit Singh Bawa, cựu Thống đốc Tennessee Phil Bredesen, nhà ngoại giao kỳ cựu R. Nicholas Burns, Ngoại trưởng Mỹ Hillary Rodham Clinton, phóng viên truyền hình Judy Woodruff, và biên tập viên tạp chí Boston Globe Martin Baron.

Học viện đã bầu 17 viện sĩ danh dự nước ngoài từ các nước Argentina, Canada, Ai Cập, Phần Lan, Pháp, Đức, Hà Lan, Nam Phi, Thụy Sĩ, và Vương quốc Anh.
Các viện sĩ mới sẽ ra mắt tại một buổi lễ vào ngày 6/10/2012, tại trụ sở của Viện Hàn lâm ở Cambridge, Massachusetts.

Kể từ khi thành lập vào năm 1780, Viện Hàn lâm đã chọn viện sĩ là các "nhà tư tưởng và hành động" của mỗi thế hệ, bao gồm George Washington, Benjamin Franklin (thế kỷ 18), Daniel Webster và Ralph Waldo Emerson (TK 19), và Albert Einstein, Winston Churchill (TK 20). Các thành viên hiện tại bao gồm hơn 250 người đoạt giải Nobel và hơn 60 người giành Giải thưởng Pulitzer.
Theo Bích Đào/VOV online

Kinh nghiệm học tập của học sinh giỏi toán tại một số trường THPT ở TP.HCM

Toán luôn là môn quan trọng trong các kỳ thi tuyển sinh, kết quả nghiên cứu của PGS.TS. Đoàn Văn Điều, Trường đại học sư phạm TP.HCM về “Kinh nghiệm học tập của học sinh giỏi toán tại một số trường THPT ở TP.HCM”, có thể rất hữu ích cho các thí sinh đang miệt mài ôn luyện.

Nghiên cứu này được thực hiện với các sinh viên khoa toán, Trường đại học sư phạm, trước đây là học sinh của các trường THPT, có khả năng về toán học, có kinh nghiệm học tập để đạt kết quả tốt, có thành tích cao khi còn học THPT.

Kết quả cho thấy kinh nghiệm học tập để chuẩn bị thi vào lớp chuyên Toán theo học sinh trung học phổ thông được đánh giá theo thứ bậc từ cao đến thấp như sau:

Rất cần thiết: Giữ gìn sức khỏe (thứ bậc 1); có chế độ nghỉ ngơi, thư giãn hợp lí, ăn uống điều độ (thứ bậc 2); không chủ quan trong thi cử (thứ bậc 3); xác định mục tiêu phấn đấu rõ ràng (thứ bậc 4); hỏi thầy cô hoặc bạn những gì mình không hiểu (thứ bậc 5); ôn kiến thức từ các lớp trước đến lớp đang học (thứ bậc 6) và lắng nghe bài giảng trong lớp (thứ bậc 7).

Có thể đây là một kết quả thú vị vì học sinh giỏi toán chú trọng đến việc giữ gìn sức khỏe nhất. Kết quả này có thể do học sinh rất khó nhọc khi học các lớp trung học phổ thông: phải học nhiều nội dung, làm bài tập kèm theo, phải tham gia những hoạt động khác nên không có thời gian nghỉ ngơi cũng như ăn uống hợp lí. Do đó, các em quan tâm đến giữ gìn sức khỏe là kinh nghiệm cần thiết nhất cho việc học thành công.

Việc xác định mục đích học để thi vào lớp chuyên Toán là cần thiết vì muốn thực hiện một công việc tốt cần phải biết bản thân muốn làm gì. Các kinh nghiệm khác về học tập và một số thái độ đối với việc học cũng như đối với bản thân tronghọc tập là điều kiện cần thiết để các em học thành công.

Khá cần thiết: Làm nhiều dạng toán (thứ bậc 8); học theo kế hoạch, không học dồn (thứ bậc 9); vạch kế hoạch ôn luyện phù hợp (thứ bậc 10); học và hiểu thật kỹ lí thuyết để áp dụng vào giải bài tập (thứ bậc 11); chăm chỉ, siêng năng trong học tập (thứ bậc 12); học hỏi phương pháp hay từ bạn bè (thứ bậc 13); phải biết phân loại kiến thức, phân loại các nhóm bài tập (thứ bậc 14); vừa học vừa ôn tập (thứ bậc 15); học bài kỹ để hiểu thật vững những kiến thức cơ bản (thứ bậc 16); hệ thống hóa bài đã học (thứ bậc 17); trình bày những gì mình không hiểu (thứ bậc 18) và giải đề thi các năm trước (thứ bậc 19).

Có thể nói những kinh nghiệm nêu trên là thể hiện trí thông minh thực hành trong việc học tập. Trí thông minh lí thuyết của một người cần được cụ thể hóa vào thực tiễn qua những việc làm cụ thể thì công việc mới thành công. Cho dù các em chưa biết được nguyên tắc này, nhưng trong thực tế các em đã trình bày được quy trình áp dụng, nên có thể nói rằng các em là những học sinh có trí thông minh thực tế tốt.


Cần thiết: Ghi chép những điều quan trọng vào sổ tay (thứ bậc 20); về nhà làm ngay bài tập của bài giảng hôm đó (thứ bậc 21); trước ngày thi vài ngày, không học nữa để đầu óc thoải mái (thứ bậc 22); được sự động viên, giúp đỡ của gia đình (thứ bậc 23); làm nhiều bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập (thứ bậc 24); dành nhiều thời gian cho học tập (thứ bậc 25) và học nhóm để trao đổi kinh nghiệm (thứ bậc 25).


Nhóm này gồm những kinh nghiệm mang tính phương pháp học tập cụ thể liên quan đến cách học, cách ôn tập, cách làm bài, thời gian nghỉ ngơi hợp lí, học nhóm. Những kinh nghiệm này cần cho tất cả người đi học. Điều đáng chú ý là các em nêu kinh ngiệm “Được sự động viên, giúp đỡ của gia đình”. Đây là một kinh nghiệm mà các bậc phụ huynh cần quan tâm vì gia đình là nơi tốt nhất để giúp các em động lực học tập và là nơi giúp xác định hướng đi trong cuộc đời của bản thân các em.

Một số kinh nghiệm khác cũng được đánh giá ở mức cần thiết, nhưng có điểm trung bình cộng thấp hơn một ít so với các kinh nghiệm trên, đó là học bài trước để vào lớp dể tiếp thu hơn (thứ bậc 27); đọc nhiều sách giải bài tập, sách tham khảo (thứ bậc 28) và học thêm môn toán (thứ bậc 29). Có một kinh nghiệm đuợc đánh giá ở thứ bậc 29 (thấp nhất) là “học thêm môn toán”. Nói cách khác, các em giỏi toán đánh giá học thêm là việc sau cùng trước những kinh nghiệm khác.
Nguồn: khoahocphothong

Wednesday, April 18, 2012

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bắc Giang từ 1996 đến 2011

tuyensinhvnn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bắc Giang từ 1996 đến 2011. Tài liệu dày 30 trang

được soạn thảo bằng MS WORD dễ dàng chỉnh sửa cho phù hợp với nhu cầu cá nhân. Biên soạn bởi thầy cô giáo trường THCS Đại Hoá – Tân Yên - Bắc Giang.

Download tài liệu: De thi tuyen sinh vao lop 10 Bac Giang 1996 2011

Tuesday, April 17, 2012

Đề chọn đội tuyển Việt Nam thi Olympic Toán quốc tế 2012

tuyensinhvnn xin giới thiệu đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự kì thi Olympic Toán quốc tế lần thứ 53 năm 2012 (Vietnam Team Selection Test 2012) sẽ diễn ra ở Argentina từ 4. 7 đến 16. 7. 2012. Download file PDF trong phần comments cuối bài viết.
Ngày thi thứ nhất 16/04/2012

Bài 1. (7,0 điểm) Cho đường tròn $(O)$ và 2 điểm cố định $B,C$ trên đường tròn sao cho $BC$ không là đường kính của $(O)$, $A$ là một điểm di động trên đường tròn, $A$ không trùng với $B,C$. Gọi $D,K,J$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$ và $E,M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B,C$ trên $BC, DJ, DK$. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại $M,N$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $EMN$ luôn cắt nhau tại $T$ cố định khi A thay đổi.

Bài 2. (7,0 điểm) Trên một cánh đồng hình chữ nhật kích thước $m\times n$ ô vuông gồm $m$ hàng và $n$ cột người ta đặt một số máy bơm nước vào các ô vuông. Biết rằng mỗi máy bơm nước có thể tưới nước cho các ô vuông có chung cạnh với nó và các ô vuông cùng cột với nó và cách nó đúng một ô vuông. Tìm số nhỏ nhất các máy bơm nước sao cho các máy bơm nước có thể tưới hết cả cánh đồng trong 2 trường hợp:
a) $m=4$
b) $m=3$

Bài 3. (7,0 điểm) Cho số nguyên tố $p\ge 17$. Chứng minh rằng $t=3$ là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn điều kiện: Với các số nguyên bất kì $a,b,c,d$ sao cho $abc$ không chia hết cho $p$ và $a+b+c$ chia hết cho $p$ thì tồn tại các số nguyên $x,y,z$ thuộc tập $\{0;1;...;\left[\frac{p}{t}\right]-1\}$ sao cho $ax+by+cz+d\vdots p$.
Ngày thi thứ hai 17/04/2012


Bài 4. (7,0 điểm)
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $$x_1=1,x_2=2011,x_{n+2}=4022x_{n+1}-x_n,\forall n\in \mathbb N$$
Chứng minh rằng $\frac{x_{2012}+1}{2012}$ là số chính phương.

Bài 5. (7,0 điểm)
Chứng minh rằng $c=10\sqrt{24}$ là hằng số lớn nhất thỏa mãn điều kiện: nếu có các số dương $a_1,a_2,...a_{17}$ sao cho: $$\sum_{i=1}^{17}{a_i^2}=24;\quad \sum_{i=1}^{17}{a_i^3}+\sum_{i=1}^{17}{a_i}<c$$ thì với mọi $i,j,k$ thỏa mãn $1\le i<j<k\le 17$, ta luôn có $a_i,a_j,a_k$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Bài 6. (7,0 điểm)
Có $42$ học sinh tham dự kì thi chọn đội tuyển Olympic toán quốc tế. Biết rằng một học sinh bất kì quen đúng $20$ học sinh khác. Chứng minh rằng ta có thể chia $42$ học sinh thành $2$ nhóm hoặc $21$ nhóm sao cho số học sinh trong các nhóm bằng nhau và $2$ học sinh bất kì trong cùng nhóm thì quen nhau.

Monday, April 16, 2012

Thử sức trước kì thi ĐH 2012 trên Tạp chí Toán học Tuổi trẻ số 418

tuyensinhvnn xin giới thiệu đề thử sức trước kì thi ĐH 2012 số 7 trên Tạp chí Toán học Tuổi trẻ số 418. Đề thi ra bởi thầy Nguyễn Lái, giáo viên Toán trường THPT chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên.

Lấy đề trong phần comments/nhận xét cuối bài viết.

Các đề thi thử từ số 1 đến số 6 năm 2012. Chi tiết.

Saturday, April 14, 2012

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 các tỉnh năm học 2011 - 2012


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 04/04/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1.
1) Chứng minh rằng: $A=(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012})-(a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}) \,\,\,\vdots \,\,\,\, 30 $ với mọi $a,b,c$ nguyên dương
2) Cho $f(x)=(2x^3-21x-29)^{2012}$. Tính $f(x)$ khi $x=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}} +\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$
Bài 2.
1) Giải phương trình: $\sqrt{x^2+5}+3x=\sqrt{x^2+12}+5$
2) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + xy + x - y - 2{y^2} = 0 \\ {x^2} - {y^2} + x + y = 6 \\ \end{gathered} \right.$
Bài 3.
Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $2x^2-5xy+3y^2-x+3y-4=0$
Bài 4.
Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ và $A$ bất kì nằm trên đường tròn. Từ $A$ hạ $AH$ vuông góc $BC$ và vẽ đường tròn đường kính $HA$ cắt $AB;AC$ ở $M$ và $N$.
1) Chứng minh rằng: $OA$ vuông góc $MN$
2) Cho $AH=\sqrt{2};BC=\sqrt{7}$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$.
Bài 5.
1) Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để một tam giác có các đường cao $h_1;h_2;h_3$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$ là tam giác đều là:
$$\frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1}=\frac{1}{3r}$$
2) Cho $8045$ điểm trên một mặt phẳng sao cho cứ $3$ điểm bất kì thì tạo thành $1$ tam giác có diện tích nhỏ hơn $1$. Chứng minh rằng: Luôn có thể có ít nhất $2012$ điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của $1$ tam giác có diện tích nhỏ hơn $1$.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TP. ĐÀ NẴNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC


KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán. Ngày thi: 16/02/12

Thời gian làm bài: 150 phút(không tính thời gian giao đề)

-------------------

Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức: $A = \left( {\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}} + \frac{{1 - 2\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)$ với $x>0;x\ne 1$. Rút gọn biểu thức $A$ và tìm các giá trị nguyên của $x$ để $A$ là số nguyên.

b) Cho biểu thức:
$$M = \left({\sqrt x + \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} - \sqrt {x + 2} } \right) ×$$

$$× \left( {\sqrt x - \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\left( { - \sqrt x + \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)$$
Với $x$ là số tự nhiên khác $0$. Chứng minh $M$ cũng là số tự nhiên.

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Tìm $x$ biết: $\sqrt{x+24}+\sqrt{x-16}=10$

b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + xy + y = 9\\y + yz + z = 4\\z + zx + x = 1\end{array} \right.$

Bài 3. (2,0 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tứ giác $ABCD$ có $A(0;1);B(0;4);C(6;4)$ và $D(4;1)$. Gọi d là đường thẳng cắt các đoạn thẳng $AD,BC$ lần lượt tại $M,N$ sao cho đường thẳng $d$ chia tứ giác $ABCD$ thành 2 phần có diện tích bằng nhau, biết phương trình đường thẳng d có dạng $y=mx-\frac{5m}{3}$ (với $m\ne 0$).

a) Tìm tọa độ của $M$ và $N$.

b)Tìm toạn độ điểm $Q$ trên $d$ sao cho khoảng cách từ $Q$ đến trục $Ox$ bằng 2 lần khoảng cách từ $Q$ đến $Oy$.

Bài 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn tâm $O$, gọi $H$ là trung điểm $BC$. Trên các cạnh $AB,AC$ lần lượt lấy hai điểm $D,E$ sao cho $\widehat{DHE}=60^o$. Lấy $M$ bất kì trên cung nhỏ $AB$.

a) Chứng minh ba đường phân giác của ba góc $\widehat{BAC},\widehat{BDE},\widehat{DEC}$ đồng quy.

b) Cho $AB$ có độ dài $1$ đơn vị. Chứng minh: $MA+MB < \frac{4}{3}$

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ không cân, vẽ phân giác trong $Ax$ của góc $A$. Vẽ đường thẳng $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Gọi $E$ là giao của $Ax$ và $d$. Chứng minh $E$ nằm ngoài tam giác $ABC$.

Bài 6. (1,0 điểm)

Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa điều kiện $xyz=1$. Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{{1 + {x^3} + {y^3}}} + \frac{1}{{1 + {y^3} + {z^3}}} + \frac{1}{{1 + {z^3} + {x^3}}} \le 1\]


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 06/04/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. (3,0 điểm)
1. Cho $ f(x)= \frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}$. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
$$A = f\left( {\frac{1}{{2012}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2012}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2010}}{{2012}}} \right) + f\left( {\frac{{2011}}{{2012}}} \right)$$
2.Cho biểu thức: $$ P=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{x^{2}-\sqrt{x}}$$
Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho giá trị của $P$ là một số nguyên.
Bài 2. (1,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $\ (x+y)^{3}=(x-y-6)^{2}$.
Bài 3. (1,5 điểm)
Cho $\ a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $ abc+bcd+cda+dab= a+b+c+d+\sqrt{2012}$. Chứng minh rằng: $$ (a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)\geq 2012$$
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho 3 đường tròn $(O_1), (O_2)$ và $(O)$. Giả sử $(O_1)$ và $(O_2)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $I$ và cùng tiếp xúc trong với $(O)$ tại $M_1 , M_2$. Tiếp tuyến của $(O_1)$ tại $I$ cắt $(O)$ tại $A,A'$. $AM_1$ cắt lại $(O_1)$ tại điểm $N_1, AM_2$ cắt lại $(O_2)$ tại điểm $N_2$ .
1. Chứng minh rằng: tứ giác $M_1N_1N_2M_2$ nội tiếp và $OA$ vuông góc với $N_1N_2$.
2. Kẻ đường kính $PQ$ của $(O)$ sao cho $PQ$ vuông góc với $IA$ (điểm $P$ nằm trên cung $AM_1$ không chứa điểm $M_2$). Chứng minh rằng: Nếu $PM_1$ và $QM_2$ không song song thì $AI, PM_1$ và $QM_2$ đồng quy.

Bài 5. (1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, trong đó mỗi điểm được tô bởi $1$ trong $3$ màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng: luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có $3$ đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng mà $3$ đỉnh của tam giác đó đôi một cùng màu hoặc khác màu.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Ngày thi: 06/04/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. (2,0 điểm)
1. Cho $A = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} ; B = \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$. Tính $A + B$.
2. Cho $a, b, c$ là các số khác $0$ thoả mãn $a + b + c = 0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^4}{a^4-(b^2-c^2)^2}+\frac{b^4}{b^4-(c^2-a^2)^2}+\frac{c^4}{c^4-(a^2-b^2)^2}=\frac{3}{4}$$
Bài 2. (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2} = 4 \\ \sqrt{x + 7} + \sqrt{y + 7} = 6 \end{array} \right.$
2. Cho $x, y$ là hai số nguyên khác $-1$ sao cho $\frac{x^4-1}{y+1}+\frac{y^4-1}{x+1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^{2012}-1$ chia hết cho $y+1$
Bài 3. (1,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $32x^6+16y^6+4z^6=t^6$
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tứ giác lồi $ABCD$ biết $AB = BD, \widehat{BAC}=30^0, \widehat{ADC}=150^0$. Chứng minh rằng $CA$ là tia phân giác của góc $BCD.$
Bài 5. (2,0 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác $ABC$, gọi $K, P, Q$ lần lượt là các tiếp điểm của các cạnh $BC, AC$ và $AB$. Gọi $R$ là trung điểm của đoạn thằng $PK$. Chứng minh rằng: $\widehat{PQC}=\widehat{KQR}.$
Bài 6. (1,0 điểm)
Cho ba số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng: $$\frac{a^4}{b^3(c+2a)}+\frac{b^4}{c^3(a+2b)}+\frac{c^4}{a^3(b+2c)}\geq1$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP.HẢI PHÒNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN - BẢNG B
Ngày thi: 06/04/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho $A=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}};B=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$. Tính $A+B$.
b) Cho $a,b,c$ là các số khác $0$ thỏa mãn $a+b+c=0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}-c^{^{2}}}+\frac{b^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{^{2}}}+\frac{c^{2}}{c^{2}-a^{2}-b^{^{2}}}=\frac{3}{2}$$
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=4\\ \sqrt{x+7}+\sqrt{y+7}=6 \end{matrix}\right.$
b) Cho $x,y,z$ là những số nguyên thỏa mãn điều kiện $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ chia hết cho $4$. Chứng minh rằng: cả $x,y,z$ đều chia hết cho $4$.

Bài 3. (1,0 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+4=y^{2}$.

Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ và $C$ với đường tròn cắt tiếp tuyến vẽ từ điểm $B$ của đường tròn lần lượt tại $P$ và $Q$. Trong tam giác $ABC$ vẽ đường cao $BH$ ($H$ nằm giữa $A$ và $C$). Chứng minh rằng $HB$ là tia phân giác của $\widehat{PHQ}$.

Bài 5. (2,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường phân giác của các góc $BAC$ và $ACB$ cắt nhau tại $I$ và cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $E$ và $D$. Chứng minh rằng: $BE$ vuông góc với $BI$.

Bài 6. (1,0 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\frac{a^{2}}{b(c+2a)}+\frac{b^{2}}{c(a+2b)}+\frac{c^{2}}{a(b+2c)}\geq 1$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG TRỊ

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 12/04/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Câu 1 (5 điểm) Cho biểu thức : $A = \frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+1-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ (với $x> 0$ )
a) Rút gọn $A$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$

Câu 2 (4 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức $\frac{a+1}{\sqrt{a^{4}+a+1}-a^{2}}$ trong đó a là nghiệm của phương trình $4x^{2}+\sqrt{2}x-\sqrt{2}=0$
2. Giải phương trình : $3x^{2}+2x = 2\sqrt{x^{2}+x}-x+1$
Câu 3 (3 điểm )
1. Chứng minh rằng $\large \sqrt{a}+ \sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}\leq a+2$ trong đó a là số thực không âm .
2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(x,y,z)$ thỏa mãn
$$\begin{cases} & \text{ } y^{3} =x^{3}+2x^{2}+1\\ & \text{ } xy = z^{2} +2 \end{cases}$$
Câu 4 (3 điểm) Có 3 cái chuông trong phòng thí nghiệm. Chuông thứ nhất cứ 8 phút reo một lần. Chuông thứ 2 cứ 12 phút reo một lần. Chuông thứ 3 cứ 16 phút reo một lần.Cả 3 cái chuông cùng reo 7 giờ 30 phút sáng.
a) Hỏi 3 chuông lại cùng reo lần tiếp theo vào lúc nào ?
b) Hỏi trong khoảng từ 7 giờ 30 phút đến 11 giờ 30 phút có bao nhiêu lần nghe thấy tiếng chuông đồng thời của chỉ 2 trong 3 chuồng.
Câu 5 (5 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ và đường cao $AH$.
a) Chứng minh hệ thức $AB.AC = 2R.AH.$
b) Cho $AH = R\sqrt{2}$ , gọi $D,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ xuống $AB, AC$. Chứng minh rằng $S_{ADK}= \frac{1}{2}S_{ABC}$


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 03/04/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. (2,0 điểm)
Thực hiện phép tính:
$$\dfrac{\sqrt[4]{3+2\sqrt{2}}.\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt[3]{(x+12)\sqrt{x}-6x-8}}{\dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{\sqrt{2}+1}.\sqrt[4]{3-2\sqrt{2}}}$$

Bài 2. (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: $21^{39}+39^{21}\,\,\vdots \,\,\,45$
b) Tìm $a,b$ thuộc ${\mathbb{N}^*}$ sao cho: $\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{2}{7}$
Bài 3. (6,0 điểm)
a) Giải phương trình: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}=\frac{1}{2}(x+y+z)$
b) Tìm $k$ để phương trình $x^2-(2+k)x+3k=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$, sao cho $x_1;x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 10
c) Cho biểu thức $A=x\sqrt{3+y}+y\sqrt{3+x}$, với $x,y\geq 0;x+y=2012$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$.
Bài 4. (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC(AB<AC)$ nội tiếp $(O;R)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác cắt nhau tại $I$.
a) Chứng minh tâm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$
b) Giả sử $\widehat{BAC}=60^0$. Tính diện tích tứ giác $AEOF$ theo $R$
Bài 5. (3,0 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác đều $ABC$. Một tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ cắt các cạnh $AB,AC$ của tam giác theo thứ tự ở $P,Q$. Chứng minh rằng:
a) $PQ^2+AP.AQ=AP^2+AQ^2$
b) $\frac{AP}{BP}+\frac{AQ}{CQ}=1$


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 01/04/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. (5,0 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức sau: $A=\frac{1+4x}{1+\sqrt{1+4x}}+\frac{1-4x}{1-\sqrt{1-4x}}$, biết $x=\frac{\sqrt{2}}{9}$
2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình $(m+1)x^2-(2m+1)x+m-1=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^2 +x_{2}^2-2009x_{1}x_{2}=2012$
Bài 2. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình: $(2\sqrt{x+2}-\sqrt{4x+1})(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2})=7$
2. Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x+y-2=4\sqrt{z-2} & & \\y+z-2=4\sqrt{x-2} & &\\ z+x-2=4\sqrt{y-2} \end{matrix}\right.$


Bài 3. (4,0 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $x$ biết $x, y$ là 2 số thỏa mãn đẳng thức $y^2=3(xy+y-x-x^2)$
2. Tìm các số nguyên $k$ để biểu thức $k^4-8k^3+23k^2-26k+10$ là số chính phương.


Bài 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn đường kính $AB$. Trên đoạn thẳng $AO$ lấy điểm $H$ bất kì không trùng với $A$ và $O$, kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại $H$, trên $d$ lấy điểm $C$ nằm ngoài đường tròn, từ $C$ kẻ 2 tiếp tuyến $CM$ và $CN$ với đường tròn $(O)$ với $M$ và $N$ là các tiếp điểm, ($M$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $d$ có chứa điểm $A$). Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là giao điểm của $CM, CN$ với đường thẳng $AB$.
1. Chứng minh rằng $HC$ là tia phân giác $\widehat{MHN}$
2. Đường thẳng đi qua $O$ vuông góc với $AB$ cắt $MN$ tại $K$ và đường thẳng $CK$ cắt đường thẳng $AB$ tại $I$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $PQ$.
3. Chứng minh rằng ba đường thẳng $PN, QM, CH$ đồng quy.


Bài 5. (1,0 điểm)
Cho 3 số dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=6$. Chứng minh rằng: $$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz\geq 8$$


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 29/03/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1:
a) Tìm $x, y$ nguyên dương sao cho $6x + 5y + 18 = 2xy$
b) Chứng minh $A$ là số tự nhiên với mọi số tự nhiên $a$:
$$A = \frac{a^5}{120}+\frac{a^4}{12}+\frac{7a^3}{24}+\frac{5a^2}{12}+\frac{a}{5}$$
Bài 2:
a) Giải phương trình: $4\sqrt{x+1}= x^2 - 5x + 14$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} y = x^2 \\ z = xy \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{6}{z} \end{matrix}\right.$
Bài 3:
a) Cho $a = \frac{1-\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị biểu thức $\sqrt{16a^8 - 51a}$
b) Cho $a, b$ là các số thực dương. Chứng minh:
$$(a+b)^2 + \frac{a+b}{2} \geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}$$
Bài 4:
Cho điểm $M$ thuộc đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Từ 1 điểm $C$ trên đoạn $OB$, kẻ $CN$ vuông góc với $AM$ tại $N$. Tia phân giác của góc $\angle MAB$ cắt $CN$ tại $I$, cắt $(O)$ tại $P$. Tia $MI$ cắt đường tròn $(O)$ tại $Q$.
a) Chứng minh $P, C, Q$ thẳng hàng.
b) Khi $AM = BC$, chứng minh tia $MI$ đi qua trung điểm của $AC$.
Bài 5:
Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Trên $AH, AB, AC$ lần lượt lấy các điểm $D, E, F$ sao cho $\widehat{EDC} = \widehat{FDB} = 90^o$. Chứng minh rằng: $EF // BC$.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 30/03/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1: (4 điểm)
1. Chứng minh rằng nếu $a+b+c+d = 0$ thì $a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3(ac-bd)(b+d)$
2. Tìm một số gồm hai chữ số sao cho tỷ số giữa số đó với tổng hai chữ số của nó là lớn nhất.
Bài 2: (4 điểm)
1. Giải phương trình: $\sqrt{x-1} - \sqrt[3]{2-x} = 5$
2. Trong một lớp học chỉ có hai loại học sinh là giỏi và khá. Nếu có $1$ học sinh giỏi chuyển đi thì $\frac{1}{6}$ số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Nếu có $1$ học sinh khá chuyển đi thì $\frac{1}{5}$ số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Tính số học sinh của lớp.

Bài 3: (4 điểm)
1. Cặp số $(x, y)$ là nghiệm phương trình: $x^2 y +2xy - 4x + y = 0$. Tìm giá trị lớn nhất của $y$.
2. Cho ba số thực $a, b, c$ $\not=\ 0$ thỏa $a + b +c \not=\ 0$ và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$. Chứng minh rằng trong ba số $ a, b, c$ có hai số đối nhau.

Bài 4: (5 điểm)
Cho $(O; R)$ có đường kính $AB$ cố định; một đường kính $CD$ thay đổi không vuông góc và không trùng $AB$. Vẽ tiếp tuyến $(d)$ của đường tròn $(O)$ tại $B$. Các đướng thẳng $AC, AD$ lần lượt cắt $(d)$ tại $E$ và $F$.
1. Chứng minh tứ giác $CEFD$ nội tiếp được trong đường tròn.
2. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$. Chứng minh rằng $I$ di động trên một đường thẳng cố định.

Bài 5: (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có các đường phân giác trong $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $G$. Chứng minh rằng nếu $GD =GE$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A$ hoặc góc $A$ bằng $60^0$


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG BÌNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 29/03/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l} x + y - 1 = \frac{2}{x}\\ {\left( {x + y} \right)^2} + 2 = \frac{2}{{{x^2}}} \end{array} \right.$
Bài 2. Cho phương trình: ${x^2} - 2mx + 1 = 0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm dương.
b) Gọi ${x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} \le {x_2}} \right)$ là hai nghiệm của phương trình. Tính $P=\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}$ theo $m$ và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$Q= {x_1} + {x_2} + \frac{2}{{{x_1} + {x_2}}}$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có các góc đều nhọn và $H$ là trực tâm. Gọi $M,N,P$ lần lượt là giao điểm thứ hai của các đường thẳng $AH,BH,CH$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC;\,\, D,E,F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ $A,B,C$ của tam giác $ABC$
a) Chứng minh tam giác $CHM$ cân
b) Tính tổng $\frac{AM}{AD} + \frac{BN}{BE} + \frac{CP}{CF}$

Bài 4. Không sử dụng máy tính hãy chứng minh:
$$\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2012\sqrt{2011}}< 2$$
Bài 5. Tìm số nguyên tố $p$ để $4{p^2} + 1$ và $6{p^2} + 1$ đều là số nguyên tố.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 23/03/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. (2,5 điểm)
1. Rút gọn biểu thức: $$A = \frac{{{x^2} - 5x + 6 + 3\sqrt {{x^2} - 6x + 8} }}{{3x - 12 + \left( {x - 3} \right)\sqrt {{x^2} - 6x + 8} }}$$
2. Phân tích thành nhân tử: ${a^3} + {b^3} + {c^3} - {\left( {a + b + c} \right)^3}$
3. Tìm $x$ biết ${\left( {{x^2} + x + 2} \right)^3} - {\left( {x + 1} \right)^3} = {x^6} + 1$

Bài 2. (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{l} {{x^2} + xy - 2{y^2} = 0}\\ {xy + 3{y^2} + x = 3}\ \end{array}} \right.$
2. Giải phương trình: ${\left( {\frac{{x - 3}}{{x - 2}}} \right)^3} - {\left( {x - 3} \right)^3} = 16$
Bài 3. (2,0 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $8{x^2} + 23{y^2} + 16x - 44y + 16xy - 1180 = 0$
2. Cho $n$ là số nguyên dương và $m$ là ước nguyên dương của $2{n^2}$. Chứng minh rằng ${n^2} + m$ không là số chính phương.
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn $(O;R)$ và $AB$ là đường kính. Gọi $d$ là đường trung trực của $OB$. Gọi $M$ và $N$ là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng $d$. Trên các tia $OM,ON$ lấy lần lượt các điểm $M'$ và $N'$ sao cho $OM'.OM = ON'.ON = {R^2}$.
1. Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,M',N'$ thuộc một đường tròn.
2. Khi điểm $M$ chuyển động trên $d$, chứng minh rằng điểm $M'$ thuộc một đường tròn cố định.
3. Tìm vị trí điểm $M$ trên $d$ nhưng $M$ không nằm trong đường tròn $(O;R)$ để tổng $MO+MA$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5. (0,5 điểm)
Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn $(O;r)$, hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 24/03/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Câu 1:
1) Cho các số thực $a, b, c$ khác nhau từng đôi một vào thỏa mãn điều kiện: $a^{2}-b=b^{2}-c=c^{2}-a$ Chứng minh rằng: $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1$
2) Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$ Chứng minh rằng:
$$\frac{(b+c)\sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{b^{2}+1}\times \sqrt{c^{2}+1}}=1$$
Câu 2:
1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{y^{2}-3x} +\sqrt{x^{2}+8y}=5& & \\ x(x-3)+y(y+8)=13& & \end{matrix}\right.$
2) Giải phương trình: $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^{2}-4x-2$
Câu 3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên không âm $(x;y;z)$ thỏa mãn đẳng thức:
$$2012^{x}+2013^{y}=2014^{z}$$
Câu 4: Cho đường tròn $(O)$, $AB$ là đường kính của $(O)$. Điểm $Q$ thuộc đoạn thẳng $OB$ ($Q$ khác $O; Q$ khác $B$). Đường thẳng đi qua $Q$, vuông góc với $AB$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $C$ và $D$ khác nhau (điểm $D$ nằm trong nửa mặt phẳng bờ $PS$ chứa $B$). Gọi $G$ là giao điểm của các đường thẳng $CD$ và $AP$. Gọi $E$ là giao điểm của các đường thẳng $CD$ và $PS$. Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AQ$.
1) Chứng minh rằng tam giác $PDE$ đồng dạng với tam giác $PSD$
2) Chứng minh rằng $EP=EQ=EG$
3) Chứng minh đường thẳng $KG$ vuông góc với đường thẳng $CD$
Câu 5: Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện: $$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$$ Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{\sqrt{1+8a^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^{3}}}\geq 1$$


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 23/03/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Câu 1 (2 điểm): Cho $x=1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ , chứng minh rằng $P=x^{3}-3x^{2}-3x+3$ là một số chính phương.
Câu 2 (6 điểm):
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+4y^{2}=5 & \\ 4xy+x+2y=7 & \end{matrix}\right.$
b) Giải phương trình $\frac{2x-1}{x^{2}}+\frac{y-1}{y^{2}}+\frac{6z-9}{z^{2}}=\frac{9}{4}$
Câu 3 (3 điểm) Tìm tham số $m$ để tập nghiệm phương trình sau có đúng một phần tử:
$$\frac{m^{2}x^{2}-(2m+5)x+1}{x-1}=0$$
Câu 4 (7 điểm) Cho $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy $M$ khác $A$. Qua $M$ kẻ tiếp tuyến $MC, MD$ với đường tròn $(O') ( C,D$ là các tiếp điểm, $C$ nằm ngoài $(O))$. Đường thẳng $AC$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $A$, đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại $Q$ khác $A$. Đường thẳng $CD$ cắt $PQ$ tại $K$. Chứng minh:
a) Tam giác $BCD$ đồng dạng với tam giác $BPQ$
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KCP$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi
c) $K$ là trung điểm $PQ$
Câu 5 (2 điểm). Với $a,b,c$ là ba số thực dương, chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq a^{2} +b^{2}+c^{2}$$


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG NAI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 23/03/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. (4 điểm)
Cho $ac=bd$ và $ab>0$. Chứng minh: $\sqrt {{{(a + b)}^2} + {{(c + d)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {d^2}} + \sqrt {{b^2} + {c^2}} $

Bài 2. (4 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = 4\\ {x^3} - {y^3} = 8 \end{array} \right.$

Bài 3. (4 điểm)
Cho $m,n,k$ là các số nguyên thỏa mãn: ${m^2} + {n^2} = {k^2}$. Chứng minh tích $mn\,\, \vdots \,\,12$

Bài 4. (3,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ mỗi điểm với hoành độ và tung độ đều nguyên được gọi là 1 điểm nguyên. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho các điểm $M\left( {p;q} \right),E\left( {p;0} \right),F\left( {0;q} \right)$. Biết $p,q$ là hai số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau $p>1,q>1$.
1. Tính $p$ và $q$ theo số điểm nguyên ở bên trong hình chữ nhật $OEMF$
2. Chứng minh rằng chỉ có 2 điểm nguyên thuộc đoạn $OM$

Bài 5. (4,5 điểm)
Cho $(O;R)$ tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $A,B$ là hai điểm cố định thuộc $(O;R),A \ne B$. Gọi $C$ là điểm thay đổi thuộc $(O;R)$ với $C \ne A, C \ne B$. Vẽ $(O_1)$ đi qua $A$ tiếp xúc với $BC$ tại $C$. Vẽ $(O_2)$ đi qua $B$ và tiếp xúc với $AC$ tại $C$. $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $D \ne C$.
1. Chứng minh $OO_1CO_2$ là hình bình hành.
2. Xác định vị trí điểm $C$ thỏa điều kiện đã cho để độ dài đoạn $CD$ lớn nhất .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


TỈNH YÊN BÁI



ĐỀ THI CHÍNH THỨC


KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012


Môn thi: Toán


Ngày thi: 03/03/2012


Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)


-------------------


Bài 1. (4,0 điểm)
Tìm hai số $x,y$ nguyên thoả mãn: $x^2-xy=7x-2y-15$


Bài 2. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}=\frac{2}{3}\\ (x+y)(1+\frac{1}{xy})=6\end{matrix}\right.$$

Bài 3. (5,0 điểm)
Cho hình thang $ABCD,\,(AB//CD)$. Trên đáy lớn $AB$ lấy điểm $M$ không trùng với các đỉnh. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $AC$ và $BD$, các đường thẳng này cắt hai cạch $BC, AD$ lần lượt tại $E$ và $F$. Đoạn $EF$ cắt $AC$ và $BD$ lần lượt tại $I$ và $J$. Gọi $H$ là trung điểm của $IJ$.
a. Chứng minh rằng: $FH=HE$
b. Cho $AB=2CD$. Chứng minh rằng: $EJ=JI=IF$

Bài 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ và một dây cung $AB,\,(O\not\in AB)$. Các tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn cắt nhau tại $C$. Kẻ dây cung $CD$ của đường tròn đường kính $OC,\,(D\neq A,B)$. Dây cung $CD$ cắt cung $AB$ của đường tròn $(O)$ tại $E\,\,$$(E$ nằm giữa $C$ và $D)$.
a. Chứng minh: $\widehat{BED}=\widehat{DAE}$
b. Chứng minh: $DE^2=DA.DB$

Bài 5. (2,0 điểm)
Cho $S=\frac{1}{\sqrt{1.2012}}+\frac{1}{\sqrt{2.2011}}+...+\frac{1}{\sqrt{k(2012-k+1)}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012.1}}, (k\in \mathbb{N};1\leq k\leq 2012)$
So sánh $S$ và $\frac{4024}{2013}$

Bài 6. (3,0 điểm)
Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thoả mãn $xyz=1.$ Chứng minh rằng: $\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}\geq \frac{3}{2}$


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 23/03/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{\sqrt {x - 1} }}{{3 + \sqrt {x - 1} }} + \frac{{x + 8}}{{10 - x}}} \right):\left( {\frac{{3\sqrt {x - 1} + 1}}{{x - 3\sqrt {x - 1} - 1}} - \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)$
1. Rút gọn $P$
2. Tính giá trị của $P$ khi $x = \sqrt[4]{{\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{3 - 2\sqrt 2 }}}} - \sqrt[4]{{\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{3 + 2\sqrt 2 }}}}$
Bài 2. (4,0 điểm)
Trong cùng một hệ tọa độ, cho đường thẳng $d : y = x – 2$ và parabol $\left( P \right):y = - {x^2}$. Gọi $A$ và $B$ là giao điểm của $d$ và $(P)$
1. Tính độ dài $AB$
2. Tìm $m$ để đường thẳng $d’ : y = -x + m$ cắt $(P)$ tại hai điểm $C$ và $D$ sao cho $CD= AB$

Bài 3. (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{y} + x = 2\\ \frac{{{y^2}}}{x} + y = \frac{1}{2} \end{array} \right.$
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2{x^6} + {y^2} - 2{x^3}y = 320$


Bài 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB>AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC; H$ là trực tâm; $AD,BE,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$. Kí hiệu $(C_1)$ và $(C_2)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $DKE$, với $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh rằng:
1. $ME$ là tiếp tuyến chung của $(C_1)$ và $(C_2)$
2. $KH \bot AM$


Bài 5. (2,0 điểm)
Với $0 \le x,y,z \le 1$. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
$$\frac{x}{{1 + y + zx}} + \frac{y}{{1 + z + xy}} + \frac{z}{{1 + x + zy}} = \frac{3}{{x + y + z}}$$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 22/03/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để hai số $n + 26$ và $n – 11$ đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.
Bài 2. (4,0 điểm)
Giả sử $a$ là một nghiệm của phương trình $\sqrt 2 {x^2} + x - 1 = 0$. không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $$A = \frac{{2a - 3}}{{\sqrt {2(2{a^4} - 2a + 3)} + 2{a^2}}}$$

Bài 3. (4,0 điểm)
a. Giải phương trình: $\sqrt {8x + 1} = {x^2} + 3x - 1$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - {y^2} = 1\\xy + {x^2} = 2\end{array} \right.$


Bài 4. (7,0 điểm)
Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Qua điểm $M$ vẽ hai tiếp tuyến $MA, MB$ tới đường tròn ($A$ và $B$ là các tiếp điểm). Gọi $D$ là điểm di động trên cung lớn $AB$ ($D$ không trùng $A, B$ và điểm chính giữa của cung) và $C$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $MD$ với đường tròn $O;R)$.
a. Giả sử $H$ là giao điểm của các đường thẳng $OM$ với $AB$. Chứng minh rằng $MH.MO = MC.MD$, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác $HCD$ luôn đi qua một điểm cố định.
b. Chứng minh rằng nếu $AD$ song song với đường thẳng $MB$ thì đường thẳng $AC$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $MAB$.
c. Kẻ đường kính $BK$ của đường tròn $(O;R)$, gọi $I$ là giao điểm của các đường thẳng $MK$ và $AB$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBI$ theo $R$, khi biết $OM = 2R$.


Bài 5. (2,0 điểm)
Cho các số thực dương $a, b, c$ thoả mãn: $abc + a + b = 3ab$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt {\frac{{ab}}{{a + b + 1}}} + \sqrt {\frac{b}{{bc + c + 1}}} + \sqrt {\frac{a}{{ca + c + 1}}} \ge \sqrt 3 $$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 22/03/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. (4 điểm)
Cho biểu thức: $P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)$
a. Rút gọn $P$
b. Tìm $m$ để với mọi giá trị $x > 9$ ta có $m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1$
Bài 2. (3 điểm)
Cho $abc = 1$ và ${a^3} > 36$. Chứng minh rằng: $$\frac{{{a^2}}}{3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca$$
Bài 3. (4 điểm)
Cho phương trình bậc hai: ${x^2} - 2m\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 7 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$, ($m$ là tham số)
a. Giải phương trình $(1)$ khi $m = 1$
b. Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn: ${x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 4$


Bài 4. (6 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có $BC = 5a; CA = 4a; AB = 3a$, đường trung trực của đoạn $AC$ cắt đường phân giác trong của góc $BAC$ tại $K$.
a. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.
b. Gọi $(K)$ là đường tròn có tâm $K$ và tiếp xúc với đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng đường tròn $(K)$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
c. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn $AK$ cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$


Bài 5. (3 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố khác 0, $a \ne c$ thỏa mãn: $\frac{a}{c} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}}$. Chứng minh rằng ${{a^2} + {b^2} + {c^2}}$ không thể là một số nguyên tố.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TIỀN GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 20/03/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered}
{x^3} + 1 = 2({x^2} - x + y) \\
{y^3} + 1 = 2({y^2} - y + x) \\
\end{gathered} \right.$
2. Cho phương trình: ${x^4} - 2m{x^2} + 2m - 1 = 0\,\,\,\,\,\,(1)$
a. Tìm $m$ để $(1)$ có 4 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4}$ thoả $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}\\{x_4} - {x_3} = {x_3} - {x_2} = {x_2} - {x_1}\end{array} \right.$
b. Giải phương trình $(1)$ với $m$ tìm được ở câu $a$.

Bài 2. (4,0 điểm)
Cho $(P):y = {x^2};(d):y = x + m$. Tìm $m$ để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho: tam giác $OAB$ là tam giác vuông.

Bài 3. (4,0 điểm)
1. Cho 4 số $a, b, c, d$ thoả điều kiện $a + b + c + d = 2$. Chứng minh: ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 1$
2. Cho và ${a^3} - 3{a^2} + 3a(m + 1) - {(m + 1)^2} = 0$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $a$.

Bài 4. (3,0 điểm)
Chứng minh rằng: ${2^2} + {4^2} + {6^2} + ... + {(2n)^2} = \frac{{2n(n + 1)(2n + 1)}}{3};n \in \mathbb{Z},n \geqslant 1$

Bài 5. (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC có các phân giác trong của các góc nhọn $\widehat {BAC,}\widehat {ACB},\widehat {CBA}$ theo thứ tự cắt các cạnh đối tại các điểm $M, P, N$. Đặt $a =BC, b =CA, c =AB;$ ${S_{\Delta MNP}},{S_{\Delta ABC}}$ theo thứ tự là diện tích của tam giác $MNP$ và $ABC$.
1. Chứng minh rằng: $\frac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$
2. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của $\frac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN - BẢNG A

Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------
Bài 1. (5,0 điểm)
a. Cho $a$ và $b$ là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện ${a^2} + {b^2}\,\, \vdots \,\,7$. Chứng minh rằng $a$ và $b$ đều chia hết cho 7.
b. Cho $A = {n^{2012}} + {n^{2011}} + 1$. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $A$ nhận giá trị là một số nguyên tố.

Bài 2. (4,5 điểm)
a. Giải phương trình: $\frac{4}{x} + \sqrt {x - \frac{1}{x}} = x + \sqrt {2x - \frac{5}{x}}$
b. Cho $x,y,z$ là các số thực khác 0 thỏa mãn $xy+yz+zx=0$. Tính giá trị của biểu thức:
$$M = \frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{zx}}{{{y^2}}} + \frac{{xy}}{{{z^2}}}$$
Bài 3. (4,5 điểm)
a. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x + y + z + xy + yz + zx = 6$. Chứng minh rằng:
$${x^2} + {y^2} + {z^2} \geqslant 3$$
b. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}}$$
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn $(O;R)$ và một dây $BC$ cố định không đi qua $O$. Từ một điểm $A$ bất kì trên tia đối của tia $BC$ vẽ các tiếp tuyến $AM,AN$ với đường tròn ($M$ và $N$ là các tiếp điểm, $M$ nằm trên cung nhỏ $BC$). Gọi $I$ là trung điểm của dây $BC$, đường thẳng $MI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $P$.
a. Chứng minh rằng $NP//BC$.
b. Gọi giao điểm của đường thẳng $MN$ và đường thẳng $OI$ là $K$. Xác định vị trí của điểm $A$ trên tia đối của tia $BC$ để tam giác $ONK$ có diện tích lớn nhất.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

AN GIANG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC


KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán

Ngày thi: 18/03/2012

Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

-------------------

Bài 1. (3 điểm)
Rút gọn biểu thức sau: $$A = \left( {\sqrt {\sqrt 3 + 2 - \sqrt {31 - 12\sqrt 3 } } - \sqrt 3 } \right):\left( {\sqrt[3]{{5\sqrt 2 + 7}} - \sqrt[3]{{5\sqrt 2 - 7}}} \right)$$

Bài 2. (3 điểm)
Chứng minh rằng nếu hai phương trình ${x^2} + bx + c = 0;{x^2} + 3bx + 3c = 0$ có nghiệm thì phương trình ${x^2} + 2bx + 2c = 0$ có nghiệm.


Bài 3. (4 điểm)
Cho hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 1} \right)y = m - 37\\
x + 2y = 3m + 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{với m là tham số}$$
a. Với $m$ nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b. Tìm $m$ nguyên để hệ phương trình có nghiệm $x,y$ nguyên và $x+y$ bé nhất.

Bài 4. (4 điểm)
a.Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ thì $$\frac{{{a^4} + {b^4}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^4}$$
Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào.

b. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $$P\left( x \right) = {x^4} - 8{x^2} - x + 12$$
Bài 5. (6 điểm)
Gọi $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm của các cung $BC,CA,AB$ không chứa các điểm $A,B,C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. BC cắt $A'C'$ và $A'B'$ tại $M$ và $N$; $CA$ cắt $A'B'$ và $B'C'$ tại $P$ và $Q$; $AB$ cắt $B'C'$ và $A'C'$ tại $R$ và $S$.
a. Chứng tỏ rằng $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $I$.
b. Chứng minh rằng $IQAR$ là hình thoi.
c. Tìm điều kiện của tam giác $ABC$ để $MN=PQ=RS$.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH ĐỊNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC


KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán

Ngày thi: 18/03/2012

Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

-------------------

Bài 1. (4 điểm)
a. Rút gọn biểu thức sau: $A = \sqrt {\frac{{8 + \sqrt {15} }}{2}} + \sqrt {\frac{{8 - \sqrt {15} }}{2}} $

b. Giải phương trình: $\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} + {x^2} - 16 = 0$


Bài 2. (4 điểm)
a. Chứng minh rằng ${n^3} - n$ chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên $n$ lẻ.

b. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $${a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}$$
Chứng minh rằng nếu $c \geqslant a$ và $c \geqslant b$ thì $c \geqslant a+b$

Bài 3. (3 điểm)
Cho phương trình ${x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 6 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ sao cho biểu thức $A = \left( {x_1^2 - 9} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4. (6 điểm)
a. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat {BAC} = {20^0},AB = AC = b$ và $BC=a$. Chứng minh rằng: $${a^3} + {b^3} = 3a{b^2}$$
b. Cho hai điểm $A, B$ thuộc đường tròn $(O)$ ($AB$ không qua $O$) và có hai điểm $C, D$ di động trên cung lớn $AB$ sao cho $AD // BC$ ($C, D$ khác $A, B$ và $AD > BC$). Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $AC$. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ và $D$ cắt nhau tại $I$

b.1. Chứng minh ba điểm $I, O, M$ thẳng hàng.

b.2. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCD$ không đổi.


Bài 5. (3 điểm)
Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $xy = 1$. Chứng minh rằng $$\left( {x + y + 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{4}{{x + y}} \geqslant 8$$


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH LONG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC


KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán

Ngày thi: 18/03/2012

Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

-------------------

Bài 1. (2 điểm)

Tìm các số tự nhiên có hai chữ số, biết số đó chia cho tổng các chữ số của nó được thương là 4 và số dư là 3.


Bài 2. (6 điểm)

Giải các phương trình sau:

a. ${x^3}\left( {{x^3} + 7} \right) = 8$


b. $\sqrt {3x + 1} = \sqrt {x + 4} + 1$

c. $2\left| {x + 2} \right| + \left| {x - 1} \right| = 5$


Bài 3. (3 điểm)

Cho Parabol $(P):y = 2{x^2}$. Trên $(P)$ lấy điểm $A$ có hoành độ bằng 1, điểm $B$ có hoành độ bằng 2. Tìm $m$ và $n$ để đường thẳng $\left( d \right):y = mx + n$ tiếp xúc với parabol $(P)$ và song song với đường thẳng $AB$.


Bài 4. (3 điểm)

Cho phương trình bậc hai ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 10 = 0$, với $m$ là tham số thực.

a.Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$

b. Tìm $m$ để biểu thức $P = 6{x_1}{x_2} + x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.


Bài 5. (4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Các cạnh $AB,BC,CA$ lần lượt tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $D,E,F$.

a. Chứng minh $DF//BC$ và ba điểm $A,O,E$ thẳng hàng, với $O$ là tâm của đường tròn $(O)$.

b. Gọi giao điểm thứ hai của $BF $ với đường tròn $(O)$ là $M$ và giao điểm của $DM$ với $BC$ là $N$. Chứng minh tam giác $BFC$ đồng dạng với tam giác $DNB$ và $N$ là trung điểm của $BE$.

c. Gọi $(O')$ là đường tròn qua ba điểm $B,O,C$. Chứng minh $AB,AC$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(O')$.


Bài 6. (2 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $BC = a,AC = b,AB = c$. Gọi ${h_a},{h_b},{h_c}$ lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh $a,b,c$. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$ biết ${h_a}+{h_b}+{h_c}=9r$, với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NINH BÌNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC


KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán.

Ngày thi: 16/03/2012

Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

-------------------

Bài 1. (5 điểm)

Cho biểu thức : $P= \frac{a^{2}-\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}-\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+\frac{a-4}{\sqrt{a}-2}$

1. Rút gọn $P$.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

Bài 2. (5 điểm)

Giải các phương trình sau:

1. $2x^{3}-x^{2} +\sqrt[3]{2x^{3}-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^{2}+2}$

2. $x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$; (với $x;y$ nguyên)


Bài 3. (4 điểm)

Cho đường tròn $\left ( O;R \right )$. Đường thẳng $d$ không đi qua $O$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $A$ và $B$. Từ một điểm $M$ tuỳ ý trên đường thẳng $d$ và ở ngoài đường tròn $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $MN$ và $MP$ với đường tròn $(O)$, ( $N,P$ là hai tiếp điểm).

1. Dựng vị trí điểm $M$ trên đường thẳng $d$ sao cho tứ giác $MNOP$ là hình vuông.

2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm $M, N, P$ luôn chạy trên đường thẳng cố định khi $M$ di chuyển trên đường thẳng $d$.


Bài 4. (4 điểm)

1.

a) Tìm giá trị lớn nhất của: $y= \left | x \right |\sqrt{9-x^{2}}$

b) Cho $x, y, z$ là những số thực dương thoả mãn điều kiện: $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P= \frac{1}{x^{3}\left ( y+z \right )}+\frac{1}{y^{3}\left ( x+z \right )}+\frac{1}{z^{3}\left ( x+y \right )}$$

2. Cho 3 số $a,b,c$ thoả mãn: $a+b+c=1 ; a^{2}+b^{2}+c^{2}=1; a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$. Chứng minh rằng: $$a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=1\,\,\,\,\,\text{với}\,\,\,\,\,\, n\in \mathbb{N^*}$$

Bài 5. (2 điểm)

Cho $\bigtriangleup ABC$ thay đổi có $AB=6$ và $AC=2BC$. Tìm giá trị lớn nhất của $S_{\bigtriangleup ABC}$.



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC


KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán

Ngày thi: 16/03/2012

Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

-------------------

Câu 1. (3,0 điểm)
Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích. Tìm độ dài cách cạnh của tam giác đó.

Câu 2. (3,0 điểm)
Cho biểu thức: $P=\sqrt{1-x+(1-x) \sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1-x-(1-x) \sqrt{1-x^2}}$ với $x \in [-1;1]$. Tính giá trị biểu thức $P$ với $x=\frac{-1}{2012}$.


Câu 3. (3,0 điểm)
Tìm số thực $x, y$ thỏa mãn: $(x^2+1)^2y^2+16x^2+\sqrt{x^2-2x-y^3+9}=8x^3y+8xy$

Câu 4. (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho Parabol $(P):y = {x^2}$ và hai điểm $A( - 1;1),B(3;9)$ nằm trên $(P)$. Gọi $M$ là điểm thay đổi trên $(P)$ và có hoành độ là $m\,\,\left( { - 1 < m < 3} \right)$. Tìm $m$ để diện tích tam giác $ABM$ lớn nhất.

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp ($O;R$). Gọi $I$ là điểm bất kì trong tam giác $ABC$ ($I$ không nằm trên các cạnh của tam giác). Các tia $AI, BI, CI$ cắt lần lượt $BC, CA, AB$ tại $M, N$ và $P$.

a) Chứng minh: $\frac{AI}{AN}+\frac{BI}{BN}+\frac{CI}{CN} =2$.
b) Chứng minh: $\frac{1}{AM.BN}+\frac{1}{BN.CP}+\frac{1}{CP.AM} \geq \frac{4}{3(R-OI)^2}$.


Câu 6. (3,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ tù, nội tiếp $(O;R)$. Gọi $x, y, z$ là khoảng cách từ $O$ đến các cạnh $BC, CA, AB$ và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh $y+z-x=R+r$.

Câu 7. (2,0 điểm)
Cho $x,y$ thỏa mãn $x, y \in R$ và $0 \leq x,y \geq \frac{1}{2}$. Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x} \leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Nguồn: diendantoanhoc.net