Thử sức trước kì thi Đại Học số 5 của báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 2-2012

Thử sức trước kì thi Đại Học số 5 của báo Toán Học Tuổi Trẻ đã được đăng trong tạp chí Toán học Tuổi trẻ số 416 tháng 2 năm 2012. Đề thi do thầy Huỳnh Tấn Châu, GV THPT Lương Văn Chánh, Phú Yên ra. Tải về file PDF: Xem phần comment cuối bài viết.

Hãy bấm +1 đầu trang để khuyến khích tuyensinhvnn nhé!

Câu I: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}(C)$

1,Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.

2,Tìm những điểm trên trục tung để từ đó kẻ được đúng một tỉếp tuyến với $(C)$.

Câu II:

1,Giải phương trình:

$\frac{1}{2cot^2x+1}+\frac{1}{2tan^2x+1}=\frac{15c os4x}{8+sin^22x}$

2, Giải hệ phương trình:


$\left\{\begin{matrix}

\frac{x^2}{(y+1)^2}+\frac{y^2}{(x+1)^2}=\frac{1}{2 } & \\

3xy=x+y+1&

\end{matrix}\right.$


Câu III: Cho (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2^x; y=\frac{2}{x}; y=4$.Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi (D) khi nó quay quanh trục hoàng.



Câu IV: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\hat{ABC}=120^o$.Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a.Gọi $C^'$ là trung điểm của cạnh SC.Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $AC^'$ vaf song song với BD, cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại $B^' ;D^'$,Tính thể tích khối chóp $S.AB^'C^'D^'$


Câu V:Cho các số thực dương$a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\leq 4$.Chứng minh rằng:


$\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{c a+1}{(c+a)^2}\geq 3$


Phần riêng


A.Theo chương trình chuẩn:


Câu VIa:


1, Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Descartes Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A.Phương trình đường thẳng BC là 4x-3y-4=0.Các đỉnh A,B thuộc trục hoành và diện tích tam giác ABC bằng 6.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.


2, Trong không gian với hệ trục toạ độ Descartes $Oxyz$ cho điểm $A(-1;0;2)$, mặt phẳng


$(P):2x-y-x+3=0$ và đường thẳng (d):$\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-6}{1}$


Viết phương trình đường thẳng $(d^')$ đi qua điểm $A$, cắt $(d)$ tại $B$ và cắt $(P)$ tại $C$ sao cho $\vec{AC}+2\vec{AB}=\vec{0}$


Câu VIIa:Tìm số phức $z$ thoả mãn:


$(z+1)^4+2(z+1)^2+(z+4)^2+1=0$


A.Theo chương trình nâng cao:


Câu VIb:


1, Cho hai đường thẳng :


$d:(m+1)x-my+2m+1=0$; $d':mx+(m+1)y-5m-2=0$

Chứng minh rằng tập hợp các giao điểm của $(d)$ và $d^'$ là một đường tròn. Tìm phương trình đường tròn đó.

2,Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz, cho mặt phẳng $(P):x-2y-2z+2=0$ và điểm $A(0;0;1)$. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại A và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy).

Câu VIIb:

Cho số phức $z=\frac{7-i\sqrt{3}}{1-2i\sqrt{3}}$

Tính: $S=1+z+z^2+...+{z}^{2009}$.