Ứng dụng của lý thuyết nhóm để giải toán sơ cấp

Lí thuyết nhóm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Đại số hiện đại. Lí thuyết này có những ứng dụng sâu sắc trong nhiều hướng khác nhau của toán học, vật lí... Đặc biệt, một số kĩ thuật trong lí thuyết nhóm đã được sử dụng để mang lại những kết quả đẹp của toán sơ cấp. Chẳng hạn, tính giải đựợc của các đa thức đã được giải quyết trọn vẹn bởi E. Galois thông qua việc sử dụng các kiến thức của lí thuyết nhóm phối hợp một cách tài tình với lí thuyết trường và đa thức.

Trong luận văn này, chúng tôi khai thác một số ứng dụng của lí thuyết nhóm vào toán sơ cấp ở 2 lĩnh vực: Số học và Tổ hợp. Công cụ chủ yếu của lí thuyết nhóm được vận dụng ở đây là Định lý Lagrange.

Luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị về lý thuyết nhóm nhằm phục vụ cho 2 chương sau, bao gồm các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm, đồng cấu nhóm, nhóm đối xứng và tác động của nhóm lên tập hợp. Các kiến thức và thuật ngữ của Chương I được tham khảo chủ yếu trong các cuốn sách về lý thuyết nhóm của J. Rotman [Rot] và J. F. Humphreys [Hum].

Chương 2 là một số ứng dụng vào số học. Một số kết quả ở các Tiết 2.1 v 2.2 là sự tổng hợp lại theo một chủ đề những ứng dụng đG biết của lí thuyết nhóm trong số học (xem 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.2.1, 2.2.2),nhưng cũng có những tính chất mà tác giả luận văn tự tìm tòi bằng hiểu biết của mình (xem 2.1.1, 2.1.2). Tiết 2.3, được trình bày theo bài báo công bố năm 2005 của T. Evans v B. Holt [EH], chứng minh lại những công thức số học cổ điển bằng phương pháp sử dụng công thức các lớp và Định lý Burnside trong lí thuyết nhóm.

Chương 3 của luận văn là những ứng dụng của lý thuyết nhóm với một số bài toán tổ hợp.

Ứng dụng của lý thuyết nhóm để giải toán sơ cấp, Luận văn Thạc sĩ Toán học của Nguyễn Tuyết Nga. Download 1. Download 2.