được soạn thảo bằng MS WORD dễ dàng chỉnh sửa cho phù hợp với nhu cầu cá nhân. Biên soạn bởi thầy cô giáo trường THCS Đại Hoá – Tân Yên - Bắc Giang.
Download tài liệu: De thi tuyen sinh vao lop 10 Bac Giang 1996 2011
Showing posts with label Toán THCS. Show all posts
Showing posts with label Toán THCS. Show all posts
Wednesday, April 18, 2012
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bắc Giang từ 1996 đến 2011
tuyensinhvnn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bắc Giang từ 1996 đến 2011. Tài liệu dày 30 trang 
được soạn thảo bằng MS WORD dễ dàng chỉnh sửa cho phù hợp với nhu cầu cá nhân. Biên soạn bởi thầy cô giáo trường THCS Đại Hoá – Tân Yên - Bắc Giang.
Download tài liệu: De thi tuyen sinh vao lop 10 Bac Giang 1996 2011
được soạn thảo bằng MS WORD dễ dàng chỉnh sửa cho phù hợp với nhu cầu cá nhân. Biên soạn bởi thầy cô giáo trường THCS Đại Hoá – Tân Yên - Bắc Giang.
Download tài liệu: De thi tuyen sinh vao lop 10 Bac Giang 1996 2011
Saturday, April 14, 2012
Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 các tỉnh năm học 2011 - 2012
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 04/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1.
1) Chứng minh rằng: $A=(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012})-(a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}) \,\,\,\vdots \,\,\,\, 30 $ với mọi $a,b,c$ nguyên dương
2) Cho $f(x)=(2x^3-21x-29)^{2012}$. Tính $f(x)$ khi $x=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}} +\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$
1) Chứng minh rằng: $A=(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012})-(a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}) \,\,\,\vdots \,\,\,\, 30 $ với mọi $a,b,c$ nguyên dương
2) Cho $f(x)=(2x^3-21x-29)^{2012}$. Tính $f(x)$ khi $x=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}} +\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$
Bài 2.
1) Giải phương trình: $\sqrt{x^2+5}+3x=\sqrt{x^2+12}+5$
2) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + xy + x - y - 2{y^2} = 0 \\ {x^2} - {y^2} + x + y = 6 \\ \end{gathered} \right.$
1) Giải phương trình: $\sqrt{x^2+5}+3x=\sqrt{x^2+12}+5$
2) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + xy + x - y - 2{y^2} = 0 \\ {x^2} - {y^2} + x + y = 6 \\ \end{gathered} \right.$
Bài 3.
Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $2x^2-5xy+3y^2-x+3y-4=0$
Bài 4.
Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ và $A$ bất kì nằm trên đường tròn. Từ $A$ hạ $AH$ vuông góc $BC$ và vẽ đường tròn đường kính $HA$ cắt $AB;AC$ ở $M$ và $N$.
1) Chứng minh rằng: $OA$ vuông góc $MN$
2) Cho $AH=\sqrt{2};BC=\sqrt{7}$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$.
1) Chứng minh rằng: $OA$ vuông góc $MN$
2) Cho $AH=\sqrt{2};BC=\sqrt{7}$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$.
Bài 5.
1) Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để một tam giác có các đường cao $h_1;h_2;h_3$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$ là tam giác đều là:
$$\frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1}=\frac{1}{3r}$$
2) Cho $8045$ điểm trên một mặt phẳng sao cho cứ $3$ điểm bất kì thì tạo thành $1$ tam giác có diện tích nhỏ hơn $1$. Chứng minh rằng: Luôn có thể có ít nhất $2012$ điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của $1$ tam giác có diện tích nhỏ hơn $1$.
1) Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để một tam giác có các đường cao $h_1;h_2;h_3$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$ là tam giác đều là:
$$\frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1}=\frac{1}{3r}$$
2) Cho $8045$ điểm trên một mặt phẳng sao cho cứ $3$ điểm bất kì thì tạo thành $1$ tam giác có diện tích nhỏ hơn $1$. Chứng minh rằng: Luôn có thể có ít nhất $2012$ điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của $1$ tam giác có diện tích nhỏ hơn $1$.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP. ĐÀ NẴNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán. Ngày thi: 16/02/12 Thời gian làm bài: 150 phút(không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức: $A = \left( {\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}} + \frac{{1 - 2\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)$ với $x>0;x\ne 1$. Rút gọn biểu thức $A$ và tìm các giá trị nguyên của $x$ để $A$ là số nguyên.
b) Cho biểu thức:
$$M = \left({\sqrt x + \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} - \sqrt {x + 2} } \right) ×$$
$$× \left( {\sqrt x - \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\left( { - \sqrt x + \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)$$
Với $x$ là số tự nhiên khác $0$. Chứng minh $M$ cũng là số tự nhiên.
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Tìm $x$ biết: $\sqrt{x+24}+\sqrt{x-16}=10$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + xy + y = 9\\y + yz + z = 4\\z + zx + x = 1\end{array} \right.$
Bài 3. (2,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tứ giác $ABCD$ có $A(0;1);B(0;4);C(6;4)$ và $D(4;1)$. Gọi d là đường thẳng cắt các đoạn thẳng $AD,BC$ lần lượt tại $M,N$ sao cho đường thẳng $d$ chia tứ giác $ABCD$ thành 2 phần có diện tích bằng nhau, biết phương trình đường thẳng d có dạng $y=mx-\frac{5m}{3}$ (với $m\ne 0$).
a) Tìm tọa độ của $M$ và $N$.
b)Tìm toạn độ điểm $Q$ trên $d$ sao cho khoảng cách từ $Q$ đến trục $Ox$ bằng 2 lần khoảng cách từ $Q$ đến $Oy$.
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn tâm $O$, gọi $H$ là trung điểm $BC$. Trên các cạnh $AB,AC$ lần lượt lấy hai điểm $D,E$ sao cho $\widehat{DHE}=60^o$. Lấy $M$ bất kì trên cung nhỏ $AB$.
a) Chứng minh ba đường phân giác của ba góc $\widehat{BAC},\widehat{BDE},\widehat{DEC}$ đồng quy.
b) Cho $AB$ có độ dài $1$ đơn vị. Chứng minh: $MA+MB < \frac{4}{3}$
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ không cân, vẽ phân giác trong $Ax$ của góc $A$. Vẽ đường thẳng $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Gọi $E$ là giao của $Ax$ và $d$. Chứng minh $E$ nằm ngoài tam giác $ABC$.
Bài 6. (1,0 điểm)
Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa điều kiện $xyz=1$. Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{{1 + {x^3} + {y^3}}} + \frac{1}{{1 + {y^3} + {z^3}}} + \frac{1}{{1 + {z^3} + {x^3}}} \le 1\]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 06/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (3,0 điểm)
1. Cho $ f(x)= \frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}$. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
$$A = f\left( {\frac{1}{{2012}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2012}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2010}}{{2012}}} \right) + f\left( {\frac{{2011}}{{2012}}} \right)$$
2.Cho biểu thức: $$ P=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{x^{2}-\sqrt{x}}$$
Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho giá trị của $P$ là một số nguyên.
1. Cho $ f(x)= \frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}$. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
$$A = f\left( {\frac{1}{{2012}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2012}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2010}}{{2012}}} \right) + f\left( {\frac{{2011}}{{2012}}} \right)$$
2.Cho biểu thức: $$ P=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{x^{2}-\sqrt{x}}$$
Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho giá trị của $P$ là một số nguyên.
Bài 2. (1,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $\ (x+y)^{3}=(x-y-6)^{2}$.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $\ (x+y)^{3}=(x-y-6)^{2}$.
Bài 3. (1,5 điểm)
Cho $\ a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $ abc+bcd+cda+dab= a+b+c+d+\sqrt{2012}$. Chứng minh rằng: $$ (a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)\geq 2012$$
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho 3 đường tròn $(O_1), (O_2)$ và $(O)$. Giả sử $(O_1)$ và $(O_2)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $I$ và cùng tiếp xúc trong với $(O)$ tại $M_1 , M_2$. Tiếp tuyến của $(O_1)$ tại $I$ cắt $(O)$ tại $A,A'$. $AM_1$ cắt lại $(O_1)$ tại điểm $N_1, AM_2$ cắt lại $(O_2)$ tại điểm $N_2$ .
Cho $\ a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $ abc+bcd+cda+dab= a+b+c+d+\sqrt{2012}$. Chứng minh rằng: $$ (a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)\geq 2012$$
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho 3 đường tròn $(O_1), (O_2)$ và $(O)$. Giả sử $(O_1)$ và $(O_2)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $I$ và cùng tiếp xúc trong với $(O)$ tại $M_1 , M_2$. Tiếp tuyến của $(O_1)$ tại $I$ cắt $(O)$ tại $A,A'$. $AM_1$ cắt lại $(O_1)$ tại điểm $N_1, AM_2$ cắt lại $(O_2)$ tại điểm $N_2$ .
1. Chứng minh rằng: tứ giác $M_1N_1N_2M_2$ nội tiếp và $OA$ vuông góc với $N_1N_2$.
2. Kẻ đường kính $PQ$ của $(O)$ sao cho $PQ$ vuông góc với $IA$ (điểm $P$ nằm trên cung $AM_1$ không chứa điểm $M_2$). Chứng minh rằng: Nếu $PM_1$ và $QM_2$ không song song thì $AI, PM_1$ và $QM_2$ đồng quy.
Bài 5. (1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, trong đó mỗi điểm được tô bởi $1$ trong $3$ màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng: luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có $3$ đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng mà $3$ đỉnh của tam giác đó đôi một cùng màu hoặc khác màu.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN - BẢNG A Ngày thi: 06/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (2,0 điểm)
1. Cho $A = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} ; B = \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$. Tính $A + B$.
2. Cho $a, b, c$ là các số khác $0$ thoả mãn $a + b + c = 0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^4}{a^4-(b^2-c^2)^2}+\frac{b^4}{b^4-(c^2-a^2)^2}+\frac{c^4}{c^4-(a^2-b^2)^2}=\frac{3}{4}$$
Bài 2. (2,0 điểm)1. Cho $A = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} ; B = \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$. Tính $A + B$.
2. Cho $a, b, c$ là các số khác $0$ thoả mãn $a + b + c = 0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^4}{a^4-(b^2-c^2)^2}+\frac{b^4}{b^4-(c^2-a^2)^2}+\frac{c^4}{c^4-(a^2-b^2)^2}=\frac{3}{4}$$
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2} = 4 \\ \sqrt{x + 7} + \sqrt{y + 7} = 6 \end{array} \right.$
2. Cho $x, y$ là hai số nguyên khác $-1$ sao cho $\frac{x^4-1}{y+1}+\frac{y^4-1}{x+1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^{2012}-1$ chia hết cho $y+1$
Bài 3. (1,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $32x^6+16y^6+4z^6=t^6$
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $32x^6+16y^6+4z^6=t^6$
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tứ giác lồi $ABCD$ biết $AB = BD, \widehat{BAC}=30^0, \widehat{ADC}=150^0$. Chứng minh rằng $CA$ là tia phân giác của góc $BCD.$
Cho tứ giác lồi $ABCD$ biết $AB = BD, \widehat{BAC}=30^0, \widehat{ADC}=150^0$. Chứng minh rằng $CA$ là tia phân giác của góc $BCD.$
Bài 5. (2,0 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác $ABC$, gọi $K, P, Q$ lần lượt là các tiếp điểm của các cạnh $BC, AC$ và $AB$. Gọi $R$ là trung điểm của đoạn thằng $PK$. Chứng minh rằng: $\widehat{PQC}=\widehat{KQR}.$
Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác $ABC$, gọi $K, P, Q$ lần lượt là các tiếp điểm của các cạnh $BC, AC$ và $AB$. Gọi $R$ là trung điểm của đoạn thằng $PK$. Chứng minh rằng: $\widehat{PQC}=\widehat{KQR}.$
Bài 6. (1,0 điểm)
Cho ba số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng: $$\frac{a^4}{b^3(c+2a)}+\frac{b^4}{c^3(a+2b)}+\frac{c^4}{a^3(b+2c)}\geq1$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho ba số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng: $$\frac{a^4}{b^3(c+2a)}+\frac{b^4}{c^3(a+2b)}+\frac{c^4}{a^3(b+2c)}\geq1$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HẢI PHÒNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN - BẢNG B Ngày thi: 06/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho $A=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}};B=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$. Tính $A+B$.
b) Cho $a,b,c$ là các số khác $0$ thỏa mãn $a+b+c=0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}-c^{^{2}}}+\frac{b^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{^{2}}}+\frac{c^{2}}{c^{2}-a^{2}-b^{^{2}}}=\frac{3}{2}$$
a) Cho $A=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}};B=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$. Tính $A+B$.
b) Cho $a,b,c$ là các số khác $0$ thỏa mãn $a+b+c=0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}-c^{^{2}}}+\frac{b^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{^{2}}}+\frac{c^{2}}{c^{2}-a^{2}-b^{^{2}}}=\frac{3}{2}$$
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=4\\ \sqrt{x+7}+\sqrt{y+7}=6 \end{matrix}\right.$
b) Cho $x,y,z$ là những số nguyên thỏa mãn điều kiện $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ chia hết cho $4$. Chứng minh rằng: cả $x,y,z$ đều chia hết cho $4$.
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=4\\ \sqrt{x+7}+\sqrt{y+7}=6 \end{matrix}\right.$
b) Cho $x,y,z$ là những số nguyên thỏa mãn điều kiện $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ chia hết cho $4$. Chứng minh rằng: cả $x,y,z$ đều chia hết cho $4$.
Bài 3. (1,0 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+4=y^{2}$.
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ và $C$ với đường tròn cắt tiếp tuyến vẽ từ điểm $B$ của đường tròn lần lượt tại $P$ và $Q$. Trong tam giác $ABC$ vẽ đường cao $BH$ ($H$ nằm giữa $A$ và $C$). Chứng minh rằng $HB$ là tia phân giác của $\widehat{PHQ}$.
Bài 5. (2,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường phân giác của các góc $BAC$ và $ACB$ cắt nhau tại $I$ và cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $E$ và $D$. Chứng minh rằng: $BE$ vuông góc với $BI$.
Bài 6. (1,0 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\frac{a^{2}}{b(c+2a)}+\frac{b^{2}}{c(a+2b)}+\frac{c^{2}}{a(b+2c)}\geq 1$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 12/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Câu 1 (5 điểm) Cho biểu thức : $A = \frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+1-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ (với $x> 0$ )
a) Rút gọn $A$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$
a) Rút gọn $A$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$
Câu 2 (4 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức $\frac{a+1}{\sqrt{a^{4}+a+1}-a^{2}}$ trong đó a là nghiệm của phương trình $4x^{2}+\sqrt{2}x-\sqrt{2}=0$
2. Giải phương trình : $3x^{2}+2x = 2\sqrt{x^{2}+x}-x+1$
Câu 3 (3 điểm )
1. Chứng minh rằng $\large \sqrt{a}+ \sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}\leq a+2$ trong đó a là số thực không âm .
2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(x,y,z)$ thỏa mãn
$$\begin{cases} & \text{ } y^{3} =x^{3}+2x^{2}+1\\ & \text{ } xy = z^{2} +2 \end{cases}$$
1. Chứng minh rằng $\large \sqrt{a}+ \sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}\leq a+2$ trong đó a là số thực không âm .
2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(x,y,z)$ thỏa mãn
$$\begin{cases} & \text{ } y^{3} =x^{3}+2x^{2}+1\\ & \text{ } xy = z^{2} +2 \end{cases}$$
Câu 4 (3 điểm) Có 3 cái chuông trong phòng thí nghiệm. Chuông thứ nhất cứ 8 phút reo một lần. Chuông thứ 2 cứ 12 phút reo một lần. Chuông thứ 3 cứ 16 phút reo một lần.Cả 3 cái chuông cùng reo 7 giờ 30 phút sáng.
a) Hỏi 3 chuông lại cùng reo lần tiếp theo vào lúc nào ?
b) Hỏi trong khoảng từ 7 giờ 30 phút đến 11 giờ 30 phút có bao nhiêu lần nghe thấy tiếng chuông đồng thời của chỉ 2 trong 3 chuồng.
a) Hỏi 3 chuông lại cùng reo lần tiếp theo vào lúc nào ?
b) Hỏi trong khoảng từ 7 giờ 30 phút đến 11 giờ 30 phút có bao nhiêu lần nghe thấy tiếng chuông đồng thời của chỉ 2 trong 3 chuồng.
Câu 5 (5 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ và đường cao $AH$.
a) Chứng minh hệ thức $AB.AC = 2R.AH.$
b) Cho $AH = R\sqrt{2}$ , gọi $D,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ xuống $AB, AC$. Chứng minh rằng $S_{ADK}= \frac{1}{2}S_{ABC}$
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ và đường cao $AH$.
a) Chứng minh hệ thức $AB.AC = 2R.AH.$
b) Cho $AH = R\sqrt{2}$ , gọi $D,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ xuống $AB, AC$. Chứng minh rằng $S_{ADK}= \frac{1}{2}S_{ABC}$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 03/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (2,0 điểm)
Thực hiện phép tính:
$$\dfrac{\sqrt[4]{3+2\sqrt{2}}.\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt[3]{(x+12)\sqrt{x}-6x-8}}{\dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{\sqrt{2}+1}.\sqrt[4]{3-2\sqrt{2}}}$$
Thực hiện phép tính:
$$\dfrac{\sqrt[4]{3+2\sqrt{2}}.\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt[3]{(x+12)\sqrt{x}-6x-8}}{\dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{\sqrt{2}+1}.\sqrt[4]{3-2\sqrt{2}}}$$
Bài 2. (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: $21^{39}+39^{21}\,\,\vdots \,\,\,45$
b) Tìm $a,b$ thuộc ${\mathbb{N}^*}$ sao cho: $\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{2}{7}$
Bài 3. (6,0 điểm)
a) Giải phương trình: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}=\frac{1}{2}(x+y+z)$
b) Tìm $k$ để phương trình $x^2-(2+k)x+3k=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$, sao cho $x_1;x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 10
c) Cho biểu thức $A=x\sqrt{3+y}+y\sqrt{3+x}$, với $x,y\geq 0;x+y=2012$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$.
a) Giải phương trình: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}=\frac{1}{2}(x+y+z)$
b) Tìm $k$ để phương trình $x^2-(2+k)x+3k=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$, sao cho $x_1;x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 10
c) Cho biểu thức $A=x\sqrt{3+y}+y\sqrt{3+x}$, với $x,y\geq 0;x+y=2012$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$.
Bài 4. (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC(AB<AC)$ nội tiếp $(O;R)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác cắt nhau tại $I$.
a) Chứng minh tâm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$
b) Giả sử $\widehat{BAC}=60^0$. Tính diện tích tứ giác $AEOF$ theo $R$
Cho tam giác nhọn $ABC(AB<AC)$ nội tiếp $(O;R)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác cắt nhau tại $I$.
a) Chứng minh tâm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$
b) Giả sử $\widehat{BAC}=60^0$. Tính diện tích tứ giác $AEOF$ theo $R$
Bài 5. (3,0 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác đều $ABC$. Một tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ cắt các cạnh $AB,AC$ của tam giác theo thứ tự ở $P,Q$. Chứng minh rằng:
a) $PQ^2+AP.AQ=AP^2+AQ^2$
b) $\frac{AP}{BP}+\frac{AQ}{CQ}=1$
Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác đều $ABC$. Một tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ cắt các cạnh $AB,AC$ của tam giác theo thứ tự ở $P,Q$. Chứng minh rằng:
a) $PQ^2+AP.AQ=AP^2+AQ^2$
b) $\frac{AP}{BP}+\frac{AQ}{CQ}=1$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 01/04/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (5,0 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức sau: $A=\frac{1+4x}{1+\sqrt{1+4x}}+\frac{1-4x}{1-\sqrt{1-4x}}$, biết $x=\frac{\sqrt{2}}{9}$
2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình $(m+1)x^2-(2m+1)x+m-1=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^2 +x_{2}^2-2009x_{1}x_{2}=2012$
1. Tính giá trị của biểu thức sau: $A=\frac{1+4x}{1+\sqrt{1+4x}}+\frac{1-4x}{1-\sqrt{1-4x}}$, biết $x=\frac{\sqrt{2}}{9}$
2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình $(m+1)x^2-(2m+1)x+m-1=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^2 +x_{2}^2-2009x_{1}x_{2}=2012$
Bài 2. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình: $(2\sqrt{x+2}-\sqrt{4x+1})(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2})=7$
2. Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x+y-2=4\sqrt{z-2} & & \\y+z-2=4\sqrt{x-2} & &\\ z+x-2=4\sqrt{y-2} \end{matrix}\right.$
Bài 3. (4,0 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $x$ biết $x, y$ là 2 số thỏa mãn đẳng thức $y^2=3(xy+y-x-x^2)$
2. Tìm các số nguyên $k$ để biểu thức $k^4-8k^3+23k^2-26k+10$ là số chính phương.
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn đường kính $AB$. Trên đoạn thẳng $AO$ lấy điểm $H$ bất kì không trùng với $A$ và $O$, kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại $H$, trên $d$ lấy điểm $C$ nằm ngoài đường tròn, từ $C$ kẻ 2 tiếp tuyến $CM$ và $CN$ với đường tròn $(O)$ với $M$ và $N$ là các tiếp điểm, ($M$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $d$ có chứa điểm $A$). Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là giao điểm của $CM, CN$ với đường thẳng $AB$.
1. Chứng minh rằng $HC$ là tia phân giác $\widehat{MHN}$
2. Đường thẳng đi qua $O$ vuông góc với $AB$ cắt $MN$ tại $K$ và đường thẳng $CK$ cắt đường thẳng $AB$ tại $I$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $PQ$.
3. Chứng minh rằng ba đường thẳng $PN, QM, CH$ đồng quy.
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho 3 số dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=6$. Chứng minh rằng: $$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz\geq 8$$
1. Giải phương trình: $(2\sqrt{x+2}-\sqrt{4x+1})(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2})=7$
2. Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x+y-2=4\sqrt{z-2} & & \\y+z-2=4\sqrt{x-2} & &\\ z+x-2=4\sqrt{y-2} \end{matrix}\right.$
Bài 3. (4,0 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $x$ biết $x, y$ là 2 số thỏa mãn đẳng thức $y^2=3(xy+y-x-x^2)$
2. Tìm các số nguyên $k$ để biểu thức $k^4-8k^3+23k^2-26k+10$ là số chính phương.
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn đường kính $AB$. Trên đoạn thẳng $AO$ lấy điểm $H$ bất kì không trùng với $A$ và $O$, kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại $H$, trên $d$ lấy điểm $C$ nằm ngoài đường tròn, từ $C$ kẻ 2 tiếp tuyến $CM$ và $CN$ với đường tròn $(O)$ với $M$ và $N$ là các tiếp điểm, ($M$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $d$ có chứa điểm $A$). Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là giao điểm của $CM, CN$ với đường thẳng $AB$.
1. Chứng minh rằng $HC$ là tia phân giác $\widehat{MHN}$
2. Đường thẳng đi qua $O$ vuông góc với $AB$ cắt $MN$ tại $K$ và đường thẳng $CK$ cắt đường thẳng $AB$ tại $I$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $PQ$.
3. Chứng minh rằng ba đường thẳng $PN, QM, CH$ đồng quy.
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho 3 số dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=6$. Chứng minh rằng: $$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz\geq 8$$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 29/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1:
a) Tìm $x, y$ nguyên dương sao cho $6x + 5y + 18 = 2xy$
b) Chứng minh $A$ là số tự nhiên với mọi số tự nhiên $a$:
$$A = \frac{a^5}{120}+\frac{a^4}{12}+\frac{7a^3}{24}+\frac{5a^2}{12}+\frac{a}{5}$$
a) Tìm $x, y$ nguyên dương sao cho $6x + 5y + 18 = 2xy$
b) Chứng minh $A$ là số tự nhiên với mọi số tự nhiên $a$:
$$A = \frac{a^5}{120}+\frac{a^4}{12}+\frac{7a^3}{24}+\frac{5a^2}{12}+\frac{a}{5}$$
Bài 2:
a) Giải phương trình: $4\sqrt{x+1}= x^2 - 5x + 14$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} y = x^2 \\ z = xy \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{6}{z} \end{matrix}\right.$
a) Giải phương trình: $4\sqrt{x+1}= x^2 - 5x + 14$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} y = x^2 \\ z = xy \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{6}{z} \end{matrix}\right.$
Bài 3:
a) Cho $a = \frac{1-\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị biểu thức $\sqrt{16a^8 - 51a}$
b) Cho $a, b$ là các số thực dương. Chứng minh:
$$(a+b)^2 + \frac{a+b}{2} \geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}$$
a) Cho $a = \frac{1-\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị biểu thức $\sqrt{16a^8 - 51a}$
b) Cho $a, b$ là các số thực dương. Chứng minh:
$$(a+b)^2 + \frac{a+b}{2} \geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}$$
Bài 4:
Cho điểm $M$ thuộc đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Từ 1 điểm $C$ trên đoạn $OB$, kẻ $CN$ vuông góc với $AM$ tại $N$. Tia phân giác của góc $\angle MAB$ cắt $CN$ tại $I$, cắt $(O)$ tại $P$. Tia $MI$ cắt đường tròn $(O)$ tại $Q$.
a) Chứng minh $P, C, Q$ thẳng hàng.
b) Khi $AM = BC$, chứng minh tia $MI$ đi qua trung điểm của $AC$.
a) Chứng minh $P, C, Q$ thẳng hàng.
b) Khi $AM = BC$, chứng minh tia $MI$ đi qua trung điểm của $AC$.
Bài 5:
Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Trên $AH, AB, AC$ lần lượt lấy các điểm $D, E, F$ sao cho $\widehat{EDC} = \widehat{FDB} = 90^o$. Chứng minh rằng: $EF // BC$.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
1. Chứng minh rằng nếu $a+b+c+d = 0$ thì $a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3(ac-bd)(b+d)$
2. Tìm một số gồm hai chữ số sao cho tỷ số giữa số đó với tổng hai chữ số của nó là lớn nhất.
Bài 2: (4 điểm)
1. Giải phương trình: $\sqrt{x-1} - \sqrt[3]{2-x} = 5$
2. Trong một lớp học chỉ có hai loại học sinh là giỏi và khá. Nếu có $1$ học sinh giỏi chuyển đi thì $\frac{1}{6}$ số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Nếu có $1$ học sinh khá chuyển đi thì $\frac{1}{5}$ số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Tính số học sinh của lớp.
Bài 3: (4 điểm)
1. Cặp số $(x, y)$ là nghiệm phương trình: $x^2 y +2xy - 4x + y = 0$. Tìm giá trị lớn nhất của $y$.
2. Cho ba số thực $a, b, c$ $\not=\ 0$ thỏa $a + b +c \not=\ 0$ và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$. Chứng minh rằng trong ba số $ a, b, c$ có hai số đối nhau.
Bài 4: (5 điểm)
Cho $(O; R)$ có đường kính $AB$ cố định; một đường kính $CD$ thay đổi không vuông góc và không trùng $AB$. Vẽ tiếp tuyến $(d)$ của đường tròn $(O)$ tại $B$. Các đướng thẳng $AC, AD$ lần lượt cắt $(d)$ tại $E$ và $F$.
1. Chứng minh tứ giác $CEFD$ nội tiếp được trong đường tròn.
2. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$. Chứng minh rằng $I$ di động trên một đường thẳng cố định.
Bài 5: (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có các đường phân giác trong $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $G$. Chứng minh rằng nếu $GD =GE$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A$ hoặc góc $A$ bằng $60^0$
1. Giải phương trình: $\sqrt{x-1} - \sqrt[3]{2-x} = 5$
2. Trong một lớp học chỉ có hai loại học sinh là giỏi và khá. Nếu có $1$ học sinh giỏi chuyển đi thì $\frac{1}{6}$ số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Nếu có $1$ học sinh khá chuyển đi thì $\frac{1}{5}$ số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Tính số học sinh của lớp.
Bài 3: (4 điểm)
1. Cặp số $(x, y)$ là nghiệm phương trình: $x^2 y +2xy - 4x + y = 0$. Tìm giá trị lớn nhất của $y$.
2. Cho ba số thực $a, b, c$ $\not=\ 0$ thỏa $a + b +c \not=\ 0$ và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$. Chứng minh rằng trong ba số $ a, b, c$ có hai số đối nhau.
Bài 4: (5 điểm)
Cho $(O; R)$ có đường kính $AB$ cố định; một đường kính $CD$ thay đổi không vuông góc và không trùng $AB$. Vẽ tiếp tuyến $(d)$ của đường tròn $(O)$ tại $B$. Các đướng thẳng $AC, AD$ lần lượt cắt $(d)$ tại $E$ và $F$.
1. Chứng minh tứ giác $CEFD$ nội tiếp được trong đường tròn.
2. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$. Chứng minh rằng $I$ di động trên một đường thẳng cố định.
Bài 5: (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có các đường phân giác trong $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $G$. Chứng minh rằng nếu $GD =GE$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A$ hoặc góc $A$ bằng $60^0$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 29/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l} x + y - 1 = \frac{2}{x}\\ {\left( {x + y} \right)^2} + 2 = \frac{2}{{{x^2}}} \end{array} \right.$
Bài 2. Cho phương trình: ${x^2} - 2mx + 1 = 0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm dương.
b) Gọi ${x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} \le {x_2}} \right)$ là hai nghiệm của phương trình. Tính $P=\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}$ theo $m$ và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$Q= {x_1} + {x_2} + \frac{2}{{{x_1} + {x_2}}}$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có các góc đều nhọn và $H$ là trực tâm. Gọi $M,N,P$ lần lượt là giao điểm thứ hai của các đường thẳng $AH,BH,CH$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC;\,\, D,E,F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ $A,B,C$ của tam giác $ABC$
a) Chứng minh tam giác $CHM$ cân
b) Tính tổng $\frac{AM}{AD} + \frac{BN}{BE} + \frac{CP}{CF}$
Bài 4. Không sử dụng máy tính hãy chứng minh:
$$\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2012\sqrt{2011}}< 2$$
Bài 5. Tìm số nguyên tố $p$ để $4{p^2} + 1$ và $6{p^2} + 1$ đều là số nguyên tố.
b) Gọi ${x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} \le {x_2}} \right)$ là hai nghiệm của phương trình. Tính $P=\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}$ theo $m$ và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$Q= {x_1} + {x_2} + \frac{2}{{{x_1} + {x_2}}}$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có các góc đều nhọn và $H$ là trực tâm. Gọi $M,N,P$ lần lượt là giao điểm thứ hai của các đường thẳng $AH,BH,CH$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC;\,\, D,E,F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ $A,B,C$ của tam giác $ABC$
a) Chứng minh tam giác $CHM$ cân
b) Tính tổng $\frac{AM}{AD} + \frac{BN}{BE} + \frac{CP}{CF}$
Bài 4. Không sử dụng máy tính hãy chứng minh:
$$\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2012\sqrt{2011}}< 2$$
Bài 5. Tìm số nguyên tố $p$ để $4{p^2} + 1$ và $6{p^2} + 1$ đều là số nguyên tố.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 23/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (2,5 điểm)
1. Rút gọn biểu thức: $$A = \frac{{{x^2} - 5x + 6 + 3\sqrt {{x^2} - 6x + 8} }}{{3x - 12 + \left( {x - 3} \right)\sqrt {{x^2} - 6x + 8} }}$$
2. Phân tích thành nhân tử: ${a^3} + {b^3} + {c^3} - {\left( {a + b + c} \right)^3}$
3. Tìm $x$ biết ${\left( {{x^2} + x + 2} \right)^3} - {\left( {x + 1} \right)^3} = {x^6} + 1$
1. Rút gọn biểu thức: $$A = \frac{{{x^2} - 5x + 6 + 3\sqrt {{x^2} - 6x + 8} }}{{3x - 12 + \left( {x - 3} \right)\sqrt {{x^2} - 6x + 8} }}$$
2. Phân tích thành nhân tử: ${a^3} + {b^3} + {c^3} - {\left( {a + b + c} \right)^3}$
3. Tìm $x$ biết ${\left( {{x^2} + x + 2} \right)^3} - {\left( {x + 1} \right)^3} = {x^6} + 1$
Bài 2. (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{l} {{x^2} + xy - 2{y^2} = 0}\\ {xy + 3{y^2} + x = 3}\ \end{array}} \right.$
2. Giải phương trình: ${\left( {\frac{{x - 3}}{{x - 2}}} \right)^3} - {\left( {x - 3} \right)^3} = 16$
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{l} {{x^2} + xy - 2{y^2} = 0}\\ {xy + 3{y^2} + x = 3}\ \end{array}} \right.$
2. Giải phương trình: ${\left( {\frac{{x - 3}}{{x - 2}}} \right)^3} - {\left( {x - 3} \right)^3} = 16$
Bài 3. (2,0 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $8{x^2} + 23{y^2} + 16x - 44y + 16xy - 1180 = 0$
2. Cho $n$ là số nguyên dương và $m$ là ước nguyên dương của $2{n^2}$. Chứng minh rằng ${n^2} + m$ không là số chính phương.
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $8{x^2} + 23{y^2} + 16x - 44y + 16xy - 1180 = 0$
2. Cho $n$ là số nguyên dương và $m$ là ước nguyên dương của $2{n^2}$. Chứng minh rằng ${n^2} + m$ không là số chính phương.
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn $(O;R)$ và $AB$ là đường kính. Gọi $d$ là đường trung trực của $OB$. Gọi $M$ và $N$ là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng $d$. Trên các tia $OM,ON$ lấy lần lượt các điểm $M'$ và $N'$ sao cho $OM'.OM = ON'.ON = {R^2}$.
Cho đường tròn $(O;R)$ và $AB$ là đường kính. Gọi $d$ là đường trung trực của $OB$. Gọi $M$ và $N$ là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng $d$. Trên các tia $OM,ON$ lấy lần lượt các điểm $M'$ và $N'$ sao cho $OM'.OM = ON'.ON = {R^2}$.
1. Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,M',N'$ thuộc một đường tròn.
2. Khi điểm $M$ chuyển động trên $d$, chứng minh rằng điểm $M'$ thuộc một đường tròn cố định.
3. Tìm vị trí điểm $M$ trên $d$ nhưng $M$ không nằm trong đường tròn $(O;R)$ để tổng $MO+MA$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5. (0,5 điểm)
Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn $(O;r)$, hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất.
Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn $(O;r)$, hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 24/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Câu 1:
1) Cho các số thực $a, b, c$ khác nhau từng đôi một vào thỏa mãn điều kiện: $a^{2}-b=b^{2}-c=c^{2}-a$ Chứng minh rằng: $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1$
2) Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$ Chứng minh rằng:
$$\frac{(b+c)\sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{b^{2}+1}\times \sqrt{c^{2}+1}}=1$$
Câu 2:
1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{y^{2}-3x} +\sqrt{x^{2}+8y}=5& & \\ x(x-3)+y(y+8)=13& & \end{matrix}\right.$
2) Giải phương trình: $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^{2}-4x-2$
Câu 3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên không âm $(x;y;z)$ thỏa mãn đẳng thức:
$$2012^{x}+2013^{y}=2014^{z}$$
Câu 4: Cho đường tròn $(O)$, $AB$ là đường kính của $(O)$. Điểm $Q$ thuộc đoạn thẳng $OB$ ($Q$ khác $O; Q$ khác $B$). Đường thẳng đi qua $Q$, vuông góc với $AB$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $C$ và $D$ khác nhau (điểm $D$ nằm trong nửa mặt phẳng bờ $PS$ chứa $B$). Gọi $G$ là giao điểm của các đường thẳng $CD$ và $AP$. Gọi $E$ là giao điểm của các đường thẳng $CD$ và $PS$. Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AQ$.
1) Chứng minh rằng tam giác $PDE$ đồng dạng với tam giác $PSD$
2) Chứng minh rằng $EP=EQ=EG$
3) Chứng minh đường thẳng $KG$ vuông góc với đường thẳng $CD$
Câu 5: Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện: $$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$$ Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{\sqrt{1+8a^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^{3}}}\geq 1$$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 23/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Câu 1 (2 điểm): Cho $x=1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ , chứng minh rằng $P=x^{3}-3x^{2}-3x+3$ là một số chính phương.
Câu 2 (6 điểm):
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+4y^{2}=5 & \\ 4xy+x+2y=7 & \end{matrix}\right.$
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+4y^{2}=5 & \\ 4xy+x+2y=7 & \end{matrix}\right.$
b) Giải phương trình $\frac{2x-1}{x^{2}}+\frac{y-1}{y^{2}}+\frac{6z-9}{z^{2}}=\frac{9}{4}$
Câu 3 (3 điểm) Tìm tham số $m$ để tập nghiệm phương trình sau có đúng một phần tử:
$$\frac{m^{2}x^{2}-(2m+5)x+1}{x-1}=0$$
$$\frac{m^{2}x^{2}-(2m+5)x+1}{x-1}=0$$
Câu 4 (7 điểm) Cho $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy $M$ khác $A$. Qua $M$ kẻ tiếp tuyến $MC, MD$ với đường tròn $(O') ( C,D$ là các tiếp điểm, $C$ nằm ngoài $(O))$. Đường thẳng $AC$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $A$, đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại $Q$ khác $A$. Đường thẳng $CD$ cắt $PQ$ tại $K$. Chứng minh:
a) Tam giác $BCD$ đồng dạng với tam giác $BPQ$
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KCP$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi
a) Tam giác $BCD$ đồng dạng với tam giác $BPQ$
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KCP$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi
c) $K$ là trung điểm $PQ$
Câu 5 (2 điểm). Với $a,b,c$ là ba số thực dương, chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq a^{2} +b^{2}+c^{2}$$
$$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq a^{2} +b^{2}+c^{2}$$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 23/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (4 điểm)
Cho $ac=bd$ và $ab>0$. Chứng minh: $\sqrt {{{(a + b)}^2} + {{(c + d)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {d^2}} + \sqrt {{b^2} + {c^2}} $
Bài 2. (4 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = 4\\ {x^3} - {y^3} = 8 \end{array} \right.$
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = 4\\ {x^3} - {y^3} = 8 \end{array} \right.$
Bài 3. (4 điểm)
Cho $m,n,k$ là các số nguyên thỏa mãn: ${m^2} + {n^2} = {k^2}$. Chứng minh tích $mn\,\, \vdots \,\,12$
Cho $m,n,k$ là các số nguyên thỏa mãn: ${m^2} + {n^2} = {k^2}$. Chứng minh tích $mn\,\, \vdots \,\,12$
Bài 4. (3,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ mỗi điểm với hoành độ và tung độ đều nguyên được gọi là 1 điểm nguyên. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho các điểm $M\left( {p;q} \right),E\left( {p;0} \right),F\left( {0;q} \right)$. Biết $p,q$ là hai số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau $p>1,q>1$.
1. Tính $p$ và $q$ theo số điểm nguyên ở bên trong hình chữ nhật $OEMF$
2. Chứng minh rằng chỉ có 2 điểm nguyên thuộc đoạn $OM$
2. Chứng minh rằng chỉ có 2 điểm nguyên thuộc đoạn $OM$
Bài 5. (4,5 điểm)
Cho $(O;R)$ tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $A,B$ là hai điểm cố định thuộc $(O;R),A \ne B$. Gọi $C$ là điểm thay đổi thuộc $(O;R)$ với $C \ne A, C \ne B$. Vẽ $(O_1)$ đi qua $A$ tiếp xúc với $BC$ tại $C$. Vẽ $(O_2)$ đi qua $B$ và tiếp xúc với $AC$ tại $C$. $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $D \ne C$.
Cho $(O;R)$ tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $A,B$ là hai điểm cố định thuộc $(O;R),A \ne B$. Gọi $C$ là điểm thay đổi thuộc $(O;R)$ với $C \ne A, C \ne B$. Vẽ $(O_1)$ đi qua $A$ tiếp xúc với $BC$ tại $C$. Vẽ $(O_2)$ đi qua $B$ và tiếp xúc với $AC$ tại $C$. $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $D \ne C$.
1. Chứng minh $OO_1CO_2$ là hình bình hành.
2. Xác định vị trí điểm $C$ thỏa điều kiện đã cho để độ dài đoạn $CD$ lớn nhất .
2. Xác định vị trí điểm $C$ thỏa điều kiện đã cho để độ dài đoạn $CD$ lớn nhất .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán Ngày thi: 03/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) -------------------
|
Bài 1. (4,0 điểm)
Tìm hai số $x,y$ nguyên thoả mãn: $x^2-xy=7x-2y-15$
Bài 2. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}=\frac{2}{3}\\ (x+y)(1+\frac{1}{xy})=6\end{matrix}\right.$$
Bài 3. (5,0 điểm)
Cho hình thang $ABCD,\,(AB//CD)$. Trên đáy lớn $AB$ lấy điểm $M$ không trùng với các đỉnh. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $AC$ và $BD$, các đường thẳng này cắt hai cạch $BC, AD$ lần lượt tại $E$ và $F$. Đoạn $EF$ cắt $AC$ và $BD$ lần lượt tại $I$ và $J$. Gọi $H$ là trung điểm của $IJ$.
a. Chứng minh rằng: $FH=HE$
b. Cho $AB=2CD$. Chứng minh rằng: $EJ=JI=IF$
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ và một dây cung $AB,\,(O\not\in AB)$. Các tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn cắt nhau tại $C$. Kẻ dây cung $CD$ của đường tròn đường kính $OC,\,(D\neq A,B)$. Dây cung $CD$ cắt cung $AB$ của đường tròn $(O)$ tại $E\,\,$$(E$ nằm giữa $C$ và $D)$.
a. Chứng minh: $\widehat{BED}=\widehat{DAE}$
b. Chứng minh: $DE^2=DA.DB$
Bài 5. (2,0 điểm)
Cho $S=\frac{1}{\sqrt{1.2012}}+\frac{1}{\sqrt{2.2011}}+...+\frac{1}{\sqrt{k(2012-k+1)}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012.1}}, (k\in \mathbb{N};1\leq k\leq 2012)$
So sánh $S$ và $\frac{4024}{2013}$
Bài 6. (3,0 điểm)
Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thoả mãn $xyz=1.$ Chứng minh rằng: $\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}\geq \frac{3}{2}$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 23/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{\sqrt {x - 1} }}{{3 + \sqrt {x - 1} }} + \frac{{x + 8}}{{10 - x}}} \right):\left( {\frac{{3\sqrt {x - 1} + 1}}{{x - 3\sqrt {x - 1} - 1}} - \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)$
1. Rút gọn $P$
2. Tính giá trị của $P$ khi $x = \sqrt[4]{{\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{3 - 2\sqrt 2 }}}} - \sqrt[4]{{\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{3 + 2\sqrt 2 }}}}$
Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{\sqrt {x - 1} }}{{3 + \sqrt {x - 1} }} + \frac{{x + 8}}{{10 - x}}} \right):\left( {\frac{{3\sqrt {x - 1} + 1}}{{x - 3\sqrt {x - 1} - 1}} - \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)$
1. Rút gọn $P$
2. Tính giá trị của $P$ khi $x = \sqrt[4]{{\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{3 - 2\sqrt 2 }}}} - \sqrt[4]{{\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{3 + 2\sqrt 2 }}}}$
Bài 2. (4,0 điểm)
Trong cùng một hệ tọa độ, cho đường thẳng $d : y = x – 2$ và parabol $\left( P \right):y = - {x^2}$. Gọi $A$ và $B$ là giao điểm của $d$ và $(P)$
1. Tính độ dài $AB$
2. Tìm $m$ để đường thẳng $d’ : y = -x + m$ cắt $(P)$ tại hai điểm $C$ và $D$ sao cho $CD= AB$
Trong cùng một hệ tọa độ, cho đường thẳng $d : y = x – 2$ và parabol $\left( P \right):y = - {x^2}$. Gọi $A$ và $B$ là giao điểm của $d$ và $(P)$
1. Tính độ dài $AB$
2. Tìm $m$ để đường thẳng $d’ : y = -x + m$ cắt $(P)$ tại hai điểm $C$ và $D$ sao cho $CD= AB$
Bài 3. (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{y} + x = 2\\ \frac{{{y^2}}}{x} + y = \frac{1}{2} \end{array} \right.$
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{y} + x = 2\\ \frac{{{y^2}}}{x} + y = \frac{1}{2} \end{array} \right.$
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2{x^6} + {y^2} - 2{x^3}y = 320$
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB>AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC; H$ là trực tâm; $AD,BE,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$. Kí hiệu $(C_1)$ và $(C_2)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $DKE$, với $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh rằng:
1. $ME$ là tiếp tuyến chung của $(C_1)$ và $(C_2)$
2. $KH \bot AM$
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB>AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC; H$ là trực tâm; $AD,BE,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$. Kí hiệu $(C_1)$ và $(C_2)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $DKE$, với $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh rằng:
1. $ME$ là tiếp tuyến chung của $(C_1)$ và $(C_2)$
2. $KH \bot AM$
Bài 5. (2,0 điểm)
Với $0 \le x,y,z \le 1$. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
$$\frac{x}{{1 + y + zx}} + \frac{y}{{1 + z + xy}} + \frac{z}{{1 + x + zy}} = \frac{3}{{x + y + z}}$$
Với $0 \le x,y,z \le 1$. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
$$\frac{x}{{1 + y + zx}} + \frac{y}{{1 + z + xy}} + \frac{z}{{1 + x + zy}} = \frac{3}{{x + y + z}}$$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 22/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để hai số $n + 26$ và $n – 11$ đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để hai số $n + 26$ và $n – 11$ đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.
Bài 2. (4,0 điểm)
Giả sử $a$ là một nghiệm của phương trình $\sqrt 2 {x^2} + x - 1 = 0$. không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $$A = \frac{{2a - 3}}{{\sqrt {2(2{a^4} - 2a + 3)} + 2{a^2}}}$$
Giả sử $a$ là một nghiệm của phương trình $\sqrt 2 {x^2} + x - 1 = 0$. không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $$A = \frac{{2a - 3}}{{\sqrt {2(2{a^4} - 2a + 3)} + 2{a^2}}}$$
Bài 3. (4,0 điểm)
a. Giải phương trình: $\sqrt {8x + 1} = {x^2} + 3x - 1$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - {y^2} = 1\\xy + {x^2} = 2\end{array} \right.$
Bài 4. (7,0 điểm)
Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Qua điểm $M$ vẽ hai tiếp tuyến $MA, MB$ tới đường tròn ($A$ và $B$ là các tiếp điểm). Gọi $D$ là điểm di động trên cung lớn $AB$ ($D$ không trùng $A, B$ và điểm chính giữa của cung) và $C$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $MD$ với đường tròn $O;R)$.
a. Giả sử $H$ là giao điểm của các đường thẳng $OM$ với $AB$. Chứng minh rằng $MH.MO = MC.MD$, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác $HCD$ luôn đi qua một điểm cố định.
b. Chứng minh rằng nếu $AD$ song song với đường thẳng $MB$ thì đường thẳng $AC$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $MAB$.
c. Kẻ đường kính $BK$ của đường tròn $(O;R)$, gọi $I$ là giao điểm của các đường thẳng $MK$ và $AB$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBI$ theo $R$, khi biết $OM = 2R$.
Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Qua điểm $M$ vẽ hai tiếp tuyến $MA, MB$ tới đường tròn ($A$ và $B$ là các tiếp điểm). Gọi $D$ là điểm di động trên cung lớn $AB$ ($D$ không trùng $A, B$ và điểm chính giữa của cung) và $C$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $MD$ với đường tròn $O;R)$.
a. Giả sử $H$ là giao điểm của các đường thẳng $OM$ với $AB$. Chứng minh rằng $MH.MO = MC.MD$, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác $HCD$ luôn đi qua một điểm cố định.
b. Chứng minh rằng nếu $AD$ song song với đường thẳng $MB$ thì đường thẳng $AC$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $MAB$.
c. Kẻ đường kính $BK$ của đường tròn $(O;R)$, gọi $I$ là giao điểm của các đường thẳng $MK$ và $AB$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBI$ theo $R$, khi biết $OM = 2R$.
Bài 5. (2,0 điểm)
Cho các số thực dương $a, b, c$ thoả mãn: $abc + a + b = 3ab$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt {\frac{{ab}}{{a + b + 1}}} + \sqrt {\frac{b}{{bc + c + 1}}} + \sqrt {\frac{a}{{ca + c + 1}}} \ge \sqrt 3 $$
Cho các số thực dương $a, b, c$ thoả mãn: $abc + a + b = 3ab$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt {\frac{{ab}}{{a + b + 1}}} + \sqrt {\frac{b}{{bc + c + 1}}} + \sqrt {\frac{a}{{ca + c + 1}}} \ge \sqrt 3 $$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 22/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (4 điểm)
Cho biểu thức: $P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)$
a. Rút gọn $P$
b. Tìm $m$ để với mọi giá trị $x > 9$ ta có $m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1$
Cho biểu thức: $P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)$
a. Rút gọn $P$
b. Tìm $m$ để với mọi giá trị $x > 9$ ta có $m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1$
Bài 2. (3 điểm)
Cho $abc = 1$ và ${a^3} > 36$. Chứng minh rằng: $$\frac{{{a^2}}}{3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca$$
Bài 3. (4 điểm)
Cho phương trình bậc hai: ${x^2} - 2m\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 7 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$, ($m$ là tham số)
a. Giải phương trình $(1)$ khi $m = 1$
b. Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn: ${x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 4$
Cho $abc = 1$ và ${a^3} > 36$. Chứng minh rằng: $$\frac{{{a^2}}}{3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca$$
Bài 3. (4 điểm)
Cho phương trình bậc hai: ${x^2} - 2m\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 7 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$, ($m$ là tham số)
a. Giải phương trình $(1)$ khi $m = 1$
b. Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn: ${x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 4$
Bài 4. (6 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có $BC = 5a; CA = 4a; AB = 3a$, đường trung trực của đoạn $AC$ cắt đường phân giác trong của góc $BAC$ tại $K$.
a. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.
b. Gọi $(K)$ là đường tròn có tâm $K$ và tiếp xúc với đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng đường tròn $(K)$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
c. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn $AK$ cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$
Cho tam giác $ABC$ có $BC = 5a; CA = 4a; AB = 3a$, đường trung trực của đoạn $AC$ cắt đường phân giác trong của góc $BAC$ tại $K$.
a. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.
b. Gọi $(K)$ là đường tròn có tâm $K$ và tiếp xúc với đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng đường tròn $(K)$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
c. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn $AK$ cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$
Bài 5. (3 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố khác 0, $a \ne c$ thỏa mãn: $\frac{a}{c} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}}$. Chứng minh rằng ${{a^2} + {b^2} + {c^2}}$ không thể là một số nguyên tố.
Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố khác 0, $a \ne c$ thỏa mãn: $\frac{a}{c} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}}$. Chứng minh rằng ${{a^2} + {b^2} + {c^2}}$ không thể là một số nguyên tố.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 20/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered}
{x^3} + 1 = 2({x^2} - x + y) \\
{y^3} + 1 = 2({y^2} - y + x) \\
\end{gathered} \right.$
2. Cho phương trình: ${x^4} - 2m{x^2} + 2m - 1 = 0\,\,\,\,\,\,(1)$
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered}
{x^3} + 1 = 2({x^2} - x + y) \\
{y^3} + 1 = 2({y^2} - y + x) \\
\end{gathered} \right.$
2. Cho phương trình: ${x^4} - 2m{x^2} + 2m - 1 = 0\,\,\,\,\,\,(1)$
a. Tìm $m$ để $(1)$ có 4 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4}$ thoả $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}\\{x_4} - {x_3} = {x_3} - {x_2} = {x_2} - {x_1}\end{array} \right.$
b. Giải phương trình $(1)$ với $m$ tìm được ở câu $a$.Bài 2. (4,0 điểm)
Cho $(P):y = {x^2};(d):y = x + m$. Tìm $m$ để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho: tam giác $OAB$ là tam giác vuông.
Bài 3. (4,0 điểm)
1. Cho 4 số $a, b, c, d$ thoả điều kiện $a + b + c + d = 2$. Chứng minh: ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 1$
2. Cho và ${a^3} - 3{a^2} + 3a(m + 1) - {(m + 1)^2} = 0$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $a$.
Bài 4. (3,0 điểm)
Chứng minh rằng: ${2^2} + {4^2} + {6^2} + ... + {(2n)^2} = \frac{{2n(n + 1)(2n + 1)}}{3};n \in \mathbb{Z},n \geqslant 1$
Bài 5. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có các phân giác trong của các góc nhọn $\widehat {BAC,}\widehat {ACB},\widehat {CBA}$ theo thứ tự cắt các cạnh đối tại các điểm $M, P, N$. Đặt $a =BC, b =CA, c =AB;$ ${S_{\Delta MNP}},{S_{\Delta ABC}}$ theo thứ tự là diện tích của tam giác $MNP$ và $ABC$.
1. Chứng minh rằng: $\frac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$
2. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của $\frac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (5,0 điểm)
a. Cho $a$ và $b$ là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện ${a^2} + {b^2}\,\, \vdots \,\,7$. Chứng minh rằng $a$ và $b$ đều chia hết cho 7.
b. Cho $A = {n^{2012}} + {n^{2011}} + 1$. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $A$ nhận giá trị là một số nguyên tố.
Bài 2. (4,5 điểm)
a. Giải phương trình: $\frac{4}{x} + \sqrt {x - \frac{1}{x}} = x + \sqrt {2x - \frac{5}{x}}$
a. Cho $a$ và $b$ là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện ${a^2} + {b^2}\,\, \vdots \,\,7$. Chứng minh rằng $a$ và $b$ đều chia hết cho 7.
b. Cho $A = {n^{2012}} + {n^{2011}} + 1$. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $A$ nhận giá trị là một số nguyên tố.
Bài 2. (4,5 điểm)
a. Giải phương trình: $\frac{4}{x} + \sqrt {x - \frac{1}{x}} = x + \sqrt {2x - \frac{5}{x}}$
b. Cho $x,y,z$ là các số thực khác 0 thỏa mãn $xy+yz+zx=0$. Tính giá trị của biểu thức:
$$M = \frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{zx}}{{{y^2}}} + \frac{{xy}}{{{z^2}}}$$
Bài 3. (4,5 điểm)
a. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x + y + z + xy + yz + zx = 6$. Chứng minh rằng:
$${x^2} + {y^2} + {z^2} \geqslant 3$$
b. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}}$$
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn $(O;R)$ và một dây $BC$ cố định không đi qua $O$. Từ một điểm $A$ bất kì trên tia đối của tia $BC$ vẽ các tiếp tuyến $AM,AN$ với đường tròn ($M$ và $N$ là các tiếp điểm, $M$ nằm trên cung nhỏ $BC$). Gọi $I$ là trung điểm của dây $BC$, đường thẳng $MI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $P$.
a. Chứng minh rằng $NP//BC$.
b. Gọi giao điểm của đường thẳng $MN$ và đường thẳng $OI$ là $K$. Xác định vị trí của điểm $A$ trên tia đối của tia $BC$ để tam giác $ONK$ có diện tích lớn nhất.
$$M = \frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{zx}}{{{y^2}}} + \frac{{xy}}{{{z^2}}}$$
Bài 3. (4,5 điểm)
a. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x + y + z + xy + yz + zx = 6$. Chứng minh rằng:
$${x^2} + {y^2} + {z^2} \geqslant 3$$
b. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}}$$
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn $(O;R)$ và một dây $BC$ cố định không đi qua $O$. Từ một điểm $A$ bất kì trên tia đối của tia $BC$ vẽ các tiếp tuyến $AM,AN$ với đường tròn ($M$ và $N$ là các tiếp điểm, $M$ nằm trên cung nhỏ $BC$). Gọi $I$ là trung điểm của dây $BC$, đường thẳng $MI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $P$.
a. Chứng minh rằng $NP//BC$.
b. Gọi giao điểm của đường thẳng $MN$ và đường thẳng $OI$ là $K$. Xác định vị trí của điểm $A$ trên tia đối của tia $BC$ để tam giác $ONK$ có diện tích lớn nhất.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán Ngày thi: 18/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (3 điểm)
Rút gọn biểu thức sau: $$A = \left( {\sqrt {\sqrt 3 + 2 - \sqrt {31 - 12\sqrt 3 } } - \sqrt 3 } \right):\left( {\sqrt[3]{{5\sqrt 2 + 7}} - \sqrt[3]{{5\sqrt 2 - 7}}} \right)$$
Bài 2. (3 điểm)
Chứng minh rằng nếu hai phương trình ${x^2} + bx + c = 0;{x^2} + 3bx + 3c = 0$ có nghiệm thì phương trình ${x^2} + 2bx + 2c = 0$ có nghiệm.
Bài 3. (4 điểm)
Cho hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 1} \right)y = m - 37\\
x + 2y = 3m + 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{với m là tham số}$$
a. Với $m$ nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b. Tìm $m$ nguyên để hệ phương trình có nghiệm $x,y$ nguyên và $x+y$ bé nhất.
Bài 4. (4 điểm)
a.Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ thì $$\frac{{{a^4} + {b^4}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^4}$$
Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào.
b. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $$P\left( x \right) = {x^4} - 8{x^2} - x + 12$$
Bài 5. (6 điểm)
Gọi $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm của các cung $BC,CA,AB$ không chứa các điểm $A,B,C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. BC cắt $A'C'$ và $A'B'$ tại $M$ và $N$; $CA$ cắt $A'B'$ và $B'C'$ tại $P$ và $Q$; $AB$ cắt $B'C'$ và $A'C'$ tại $R$ và $S$.
a. Chứng tỏ rằng $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $I$.
b. Chứng minh rằng $IQAR$ là hình thoi.
c. Tìm điều kiện của tam giác $ABC$ để $MN=PQ=RS$.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán Ngày thi: 18/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (4 điểm)
a. Rút gọn biểu thức sau: $A = \sqrt {\frac{{8 + \sqrt {15} }}{2}} + \sqrt {\frac{{8 - \sqrt {15} }}{2}} $
b. Giải phương trình: $\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} + {x^2} - 16 = 0$
Bài 2. (4 điểm)
a. Chứng minh rằng ${n^3} - n$ chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên $n$ lẻ.
b. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $${a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}$$
Chứng minh rằng nếu $c \geqslant a$ và $c \geqslant b$ thì $c \geqslant a+b$
Bài 3. (3 điểm)
Cho phương trình ${x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 6 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ sao cho biểu thức $A = \left( {x_1^2 - 9} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4. (6 điểm)
a. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat {BAC} = {20^0},AB = AC = b$ và $BC=a$. Chứng minh rằng: $${a^3} + {b^3} = 3a{b^2}$$
b. Cho hai điểm $A, B$ thuộc đường tròn $(O)$ ($AB$ không qua $O$) và có hai điểm $C, D$ di động trên cung lớn $AB$ sao cho $AD // BC$ ($C, D$ khác $A, B$ và $AD > BC$). Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $AC$. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ và $D$ cắt nhau tại $I$
b.1. Chứng minh ba điểm $I, O, M$ thẳng hàng.
b.2. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCD$ không đổi.
Bài 5. (3 điểm)
Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $xy = 1$. Chứng minh rằng $$\left( {x + y + 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{4}{{x + y}} \geqslant 8$$
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH LONG ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán Ngày thi: 18/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (2 điểm)
Tìm các số tự nhiên có hai chữ số, biết số đó chia cho tổng các chữ số của nó được thương là 4 và số dư là 3.
Bài 2. (6 điểm)
Giải các phương trình sau:
a. ${x^3}\left( {{x^3} + 7} \right) = 8$
b. $\sqrt {3x + 1} = \sqrt {x + 4} + 1$
c. $2\left| {x + 2} \right| + \left| {x - 1} \right| = 5$
Bài 3. (3 điểm)
Cho Parabol $(P):y = 2{x^2}$. Trên $(P)$ lấy điểm $A$ có hoành độ bằng 1, điểm $B$ có hoành độ bằng 2. Tìm $m$ và $n$ để đường thẳng $\left( d \right):y = mx + n$ tiếp xúc với parabol $(P)$ và song song với đường thẳng $AB$.
Bài 4. (3 điểm)
Cho phương trình bậc hai ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 10 = 0$, với $m$ là tham số thực.
a.Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$
b. Tìm $m$ để biểu thức $P = 6{x_1}{x_2} + x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5. (4 điểm)
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Các cạnh $AB,BC,CA$ lần lượt tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $D,E,F$.
a. Chứng minh $DF//BC$ và ba điểm $A,O,E$ thẳng hàng, với $O$ là tâm của đường tròn $(O)$.
b. Gọi giao điểm thứ hai của $BF $ với đường tròn $(O)$ là $M$ và giao điểm của $DM$ với $BC$ là $N$. Chứng minh tam giác $BFC$ đồng dạng với tam giác $DNB$ và $N$ là trung điểm của $BE$.
c. Gọi $(O')$ là đường tròn qua ba điểm $B,O,C$. Chứng minh $AB,AC$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(O')$.
Bài 6. (2 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có $BC = a,AC = b,AB = c$. Gọi ${h_a},{h_b},{h_c}$ lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh $a,b,c$. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$ biết ${h_a}+{h_b}+{h_c}=9r$, với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán. Ngày thi: 16/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Bài 1. (5 điểm)
Cho biểu thức : $P= \frac{a^{2}-\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}-\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+\frac{a-4}{\sqrt{a}-2}$
1. Rút gọn $P$.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.
Bài 2. (5 điểm)
Giải các phương trình sau:
1. $2x^{3}-x^{2} +\sqrt[3]{2x^{3}-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^{2}+2}$
2. $x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$; (với $x;y$ nguyên)
Bài 3. (4 điểm)
Cho đường tròn $\left ( O;R \right )$. Đường thẳng $d$ không đi qua $O$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $A$ và $B$. Từ một điểm $M$ tuỳ ý trên đường thẳng $d$ và ở ngoài đường tròn $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $MN$ và $MP$ với đường tròn $(O)$, ( $N,P$ là hai tiếp điểm).
1. Dựng vị trí điểm $M$ trên đường thẳng $d$ sao cho tứ giác $MNOP$ là hình vuông.
2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm $M, N, P$ luôn chạy trên đường thẳng cố định khi $M$ di chuyển trên đường thẳng $d$.
Bài 4. (4 điểm)
1.
a) Tìm giá trị lớn nhất của: $y= \left | x \right |\sqrt{9-x^{2}}$
b) Cho $x, y, z$ là những số thực dương thoả mãn điều kiện: $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P= \frac{1}{x^{3}\left ( y+z \right )}+\frac{1}{y^{3}\left ( x+z \right )}+\frac{1}{z^{3}\left ( x+y \right )}$$
2. Cho 3 số $a,b,c$ thoả mãn: $a+b+c=1 ; a^{2}+b^{2}+c^{2}=1; a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$. Chứng minh rằng: $$a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=1\,\,\,\,\,\text{với}\,\,\,\,\,\, n\in \mathbb{N^*}$$
Bài 5. (2 điểm)
Cho $\bigtriangleup ABC$ thay đổi có $AB=6$ và $AC=2BC$. Tìm giá trị lớn nhất của $S_{\bigtriangleup ABC}$.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán Ngày thi: 16/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ------------------- |
Câu 1. (3,0 điểm)
Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích. Tìm độ dài cách cạnh của tam giác đó.
Câu 2. (3,0 điểm)
Cho biểu thức: $P=\sqrt{1-x+(1-x) \sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1-x-(1-x) \sqrt{1-x^2}}$ với $x \in [-1;1]$. Tính giá trị biểu thức $P$ với $x=\frac{-1}{2012}$.
Câu 3. (3,0 điểm)
Tìm số thực $x, y$ thỏa mãn: $(x^2+1)^2y^2+16x^2+\sqrt{x^2-2x-y^3+9}=8x^3y+8xy$
Câu 4. (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho Parabol $(P):y = {x^2}$ và hai điểm $A( - 1;1),B(3;9)$ nằm trên $(P)$. Gọi $M$ là điểm thay đổi trên $(P)$ và có hoành độ là $m\,\,\left( { - 1 < m < 3} \right)$. Tìm $m$ để diện tích tam giác $ABM$ lớn nhất.
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp ($O;R$). Gọi $I$ là điểm bất kì trong tam giác $ABC$ ($I$ không nằm trên các cạnh của tam giác). Các tia $AI, BI, CI$ cắt lần lượt $BC, CA, AB$ tại $M, N$ và $P$.
a) Chứng minh: $\frac{AI}{AN}+\frac{BI}{BN}+\frac{CI}{CN} =2$.
b) Chứng minh: $\frac{1}{AM.BN}+\frac{1}{BN.CP}+\frac{1}{CP.AM} \geq \frac{4}{3(R-OI)^2}$.
Câu 6. (3,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ tù, nội tiếp $(O;R)$. Gọi $x, y, z$ là khoảng cách từ $O$ đến các cạnh $BC, CA, AB$ và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh $y+z-x=R+r$.
Câu 7. (2,0 điểm)
Cho $x,y$ thỏa mãn $x, y \in R$ và $0 \leq x,y \geq \frac{1}{2}$. Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x} \leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Nguồn: diendantoanhoc.net
Tuesday, February 14, 2012
Chứng minh định lí Pi-ta-go bằng nhiều cách
Chuyên đề 20 cách chứng minh định lý Py-ta-go (file word, viết dưới dạng sáng kiến kinh nghiệm). Download.
Chứng minh Định lí Pytago bằng cách ghép hình sưu tầm bởi thầy Nguyễn Phước, Huế.
vuông trên cạnh huyền vào trong miền có diện tích a2 + b2 trên cạnh b.
Chú ý:
- Hãy thử thay đổi tam giác của bạn, và quan sát xem các mảnh tương ứng còn lại có bằng nhau nữa không.?
- Chú ý rằng, trong trương hợp dựng hình như thế này cạnh b cần phải luôn được giữ là cạnh bên dài hơn nếu không thì sự dựng hình như trên sẽ bị sai.
- Trường hợp đặc biệt trước khi việc dựng hình bi sai là trương hợp cạnh b dài bằng cạnh a thì hình vuông A’KLM biến mất.
- Bạn hãy giải thích xem tại sao với cách làm trên các mảnh có thể xếp vừa khít với miền diện tích trên cạnh b..
Đây cũng là một cách chứng minh được giới thiệu trong cuốn sách của Elisha Scott Loomis. Ann Condit nghĩ ra cách chứng minh này vào năm 1938 khi cô mới 16 tuổi và là sinh viên của trường trung học ở miền nam Ấn Độ.
Dựng hình và kiểm tra
1. Dựng đoạn thẳng AB.
2. Vẽ trung điểm D của đoạn thẳng này
3. Vẽ đường tròn bán kính DA.
4. Vẽ đoạn BC và AC , với C là một điểm nằm trên đường tròn. Như vvậy ta đã dựng được tam giác vuông ABC vuông tại C.
5. Vẽ các hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông ABC.
6. Vẽ các trung điểm L, M, N của các cạnh phía ngoài của các hình vuông.
7. Vẽ các đoạn DL, DM, DL.
8. Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, và điểm P là giao điểm cuat tia DC và đoạn FG, sau đó làm ẩn đi tia DC và hiện đoạn DP.
9. Tô màu khác nhau cho diện tích các tam giác DCF, DCG, và DBK.
Cách chứng minh này đưa ra mối liên quan giữa diện tích của các hình tam giác được tô màu với diện tích của các hình vuông trên các cạnh tam giác vuông.
Chọn menu Measure --> calculate để tính được tỉ lệ diện tích của các tam giác với các hình vuông tương ứng.
10. Đo diện tích các tam giác, và di chuyển điểm C quanh một nửa đường tròn trên đường kính AB.
Ta nhận thấy: tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn. Và tổng diện tích này không đổi khi điểm C chuyển động trên đường tròn. (xem hình bên dưới).
Cách 3: Chứng minh của Leonardo da Vinci
Dựng hình và kiểm tra
1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên hai cạnh bên của nó.
(Trong hình này bạn không phải vẽ hình vuông trên cạnh huyền).
2. Bạn hãy nối hai đỉnh của hai hình vuông để vẽ được một tam giác vuông thứ hai bằng với tam giác vuông ABC ban đầu.
3. Hãy vẽ một đoạn thẳng đi qua tâm của hình này, đó chính là đoạn thẳng đi qua C và nối hai điỉnh xa nhất của 2 hình vuông (là đường nét đứt trên hình bên).
4. Hãy vẽ trung điểm D của đoạn này.
Chứng minh Định lí Pytago bằng cách ghép hình sưu tầm bởi thầy Nguyễn Phước, Huế.
Một số cách chứng minh định lí Pitago trong sách của Elisha Scott Loomis (Minh họa bằng GSP)
Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge
Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago của tác giả Elisha Scott Loomis, được xuất bản lần đầu tiên bởi Hội đồng giáo viên quốc gia của môn toán học, vào năm 1927. Thật đáng tiếc, quyển sách này hiện nay không được xuất bản nữa, trong cuốn sách này có tới trên 300 cách chứng minh định lý Pitago, trong đó, có nhiều cách chứng minh tương tự nhau, và tất cả các cách chứng minh nổi tiếng đều có trong cuốn sách của Loomis.
Cách chứng minh dưới đây thì tương tự như cách chứng minh của Bhaskara trong phần “Behold!” đã giới thiệu ở bài trước. Cách chứng minh này được đăng trên tạp trí giáo dục, xuất bản hàng ngày, và tác giả của nó là cô E. A. Coolidge - là một người mù.
Dựng hình và kiểm tra
1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên các cạnh của nó (dùng công cụ custom)
2. Kéo dài tia HA, lấy điểm A’ đối xứng với điểm H qua A bằng cách :
+ Chọn đoạn HA và điểm A
+ Chọn menu Transform --> Rotate --> degrees =180
3. Vẽ một đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với đoạn AA’, Vẽ điểm giao K của 2 đường này.
( Hình bên minh họa cho các bước từ 1 đến 3)
4. Vẽ hình vuông A’KLM.
(Sử dụng công cụ Custom tool như đã giới thiệu ở bài 1)
5. Vẽ Đoạn BK, GM, FL.
6. Làm ẩn đi đường BK.
7. Tô màu cho 4 mảnh trong hình vuông trên cạnh huyền.
8. Đánh dấu vectơ EJ và dịch chuyển 4 đỉnh và 4 cạnh của hình vuông BCDE
theo vectơ này (để được hình vuông bên dưới hình vuông trên cạnh b có
diện tích bằng diện tích hình vuông BCDE )
+ Đánh dấu theo thứ tự điểm E, J
+ Chọn menu Transform --> Mark vector
+ Đánh dấu 4 cạnh và 4 đỉnh của hình vuông BCDE
+ Chọn vào Menu Transform --> Translate.
9. Như vậy miền diện tích trên cạnh b bây giờ là a2 + b2 . Sử dụng công cụ Translator để di chuyển các các mảnh là bản sao của các mảnh trong hình
vuông trên cạnh huyền vào trong miền có diện tích a2 + b2 trên cạnh b.
Chú ý:
- Hãy thử thay đổi tam giác của bạn, và quan sát xem các mảnh tương ứng còn lại có bằng nhau nữa không.?
- Chú ý rằng, trong trương hợp dựng hình như thế này cạnh b cần phải luôn được giữ là cạnh bên dài hơn nếu không thì sự dựng hình như trên sẽ bị sai.
- Trường hợp đặc biệt trước khi việc dựng hình bi sai là trương hợp cạnh b dài bằng cạnh a thì hình vuông A’KLM biến mất.
- Bạn hãy giải thích xem tại sao với cách làm trên các mảnh có thể xếp vừa khít với miền diện tích trên cạnh b..
Cách 2: Chứng minh của Ann Condit
Đây cũng là một cách chứng minh được giới thiệu trong cuốn sách của Elisha Scott Loomis. Ann Condit nghĩ ra cách chứng minh này vào năm 1938 khi cô mới 16 tuổi và là sinh viên của trường trung học ở miền nam Ấn Độ.
Dựng hình và kiểm tra
1. Dựng đoạn thẳng AB.
2. Vẽ trung điểm D của đoạn thẳng này
3. Vẽ đường tròn bán kính DA.
4. Vẽ đoạn BC và AC , với C là một điểm nằm trên đường tròn. Như vvậy ta đã dựng được tam giác vuông ABC vuông tại C.
5. Vẽ các hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông ABC.
6. Vẽ các trung điểm L, M, N của các cạnh phía ngoài của các hình vuông.
7. Vẽ các đoạn DL, DM, DL.
8. Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, và điểm P là giao điểm cuat tia DC và đoạn FG, sau đó làm ẩn đi tia DC và hiện đoạn DP.
9. Tô màu khác nhau cho diện tích các tam giác DCF, DCG, và DBK.
Cách chứng minh này đưa ra mối liên quan giữa diện tích của các hình tam giác được tô màu với diện tích của các hình vuông trên các cạnh tam giác vuông.
Chọn menu Measure --> calculate để tính được tỉ lệ diện tích của các tam giác với các hình vuông tương ứng.
10. Đo diện tích các tam giác, và di chuyển điểm C quanh một nửa đường tròn trên đường kính AB.
Ta nhận thấy: tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn. Và tổng diện tích này không đổi khi điểm C chuyển động trên đường tròn. (xem hình bên dưới).
Nhận xét:
Bạn có thể đã phát hiện ra rằng tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn( DBK). Nếu bạn có thể chứng minh được điều này là đúng , và nếu bạn có thể liên hệ từ các diện tích này
Với diện tích của các hình vuông, thì bạn sẽ chưngd minh được định lý
Pitago. Sau đây là các bước gợi ý để giúp bạn chứng minh định lý.
1. Các tam giác DCG, DCF, và DBK cóchiều dài 1 cạnh bằng nhau đó là : DC và BD( cì đều bằng bán kính đườn tròn.
2. Đoạn PF và PG theo thứ tự là đường cao của 2 tam giác DCF và DCG.
3. Chỉ ra rằng dt DCG + dt DCF = dt DBK.
4. So sánh DCF, DCG, DBK theo thứ với diện tích của các hình vuông CFEB, CAHG, BAGK ?
5. Nếu bạn làm được những yêu cầu trên thì bạn đã chứng minh được định lý Pitago.
Cách 3: Chứng minh của Leonardo da Vinci
Leonardo da Vinci (1452 – 1519) là một họa sĩ lớn , một kỹ sư, và là một nhà phát minh lớn người Ý trong thời kỳ phục hưng. Ông nổi tiếng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, và là tác giả của bức họa nổi tiếng nàng Mona Lisa. Ông cũng được tín nhiệm trong cách chứng minh định lý Pitago dưới
đây.
Dựng hình và kiểm tra
1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên hai cạnh bên của nó.
(Trong hình này bạn không phải vẽ hình vuông trên cạnh huyền).
2. Bạn hãy nối hai đỉnh của hai hình vuông để vẽ được một tam giác vuông thứ hai bằng với tam giác vuông ABC ban đầu.
3. Hãy vẽ một đoạn thẳng đi qua tâm của hình này, đó chính là đoạn thẳng đi qua C và nối hai điỉnh xa nhất của 2 hình vuông (là đường nét đứt trên hình bên).
4. Hãy vẽ trung điểm D của đoạn này.
5. Quan sát hình chúng ta thấy rằng: đây chính là đoạn thẳng chia hình thành 2 phần đối xứng nhau . Chọn tất cả các đoạn thẳng và các điểm nằm ở một phía của đường thẳng này, và tạo một nút hoạt động Hide/Show để làm ẩn /hiện phần hình được đánh dấu này.
Đặt lại tên cho nút này là Hide Reflection.
6. Kích chuột vào nút Hide Reflection này và bạn sẽ thấy được một nửa hình của ban đầu, phần hình đối xứng với nó bị ẩn đi (như hình bên dưới).
7. Đánh dấu điểm D làm điểm tâm và quay toàn bộ hình này 180o quanh điểm D .
Như vậy chúng ta đã tạo ra một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích của đa giác ban dầu.
8. Chọn đánh dấu tất cả các đối tượng ( đoạn thẳng và điểm) của phần
hình tạo được do xoay một nửa hình ban đầu và tạo1 nút hoạt động nữa.
Đặt tên cho nút này là Hide Rotation (xem hình bên dưới).
9. Vẽ đoạn A’B, và đoạn B’A. Như vậy chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy tứ giác BA’B’A chính là hình vuông trên cạnh c
10. Tô màu cho diện tích của hình tứ giác BA’B’A và hai tam giác vuông liền kề nó.
11. Đánh dấu đoạn A’B, và đoạn B’A, và diện tích của 3 đa giác ( gồm 2 tam giác vuông và 1 hình tứ giác), và tạo thêm 1 nút hoạt động . Có tên là Hide c Squared.
Nhận xét: Từ các bước dựng hìnhnhư trên, chúng ta có thể hình dung được cách chứng minh định lý của Leonardo da Vinci:
+ Cách dựng hình ở bước 1 – 4 cho 1 đa giác có 2 nửa đối xứng nhau qua 1 dường thẳng. Đa giác này có diện tích bằng tổng diện tích của 2 hình vuông trên các cạnh bên a, b của tam giác vuông ABC và diện tích của 2 tam giác vuông( có độ dài 2 cạnh bên là a, b).
+ Khi xoay 1 nửa đa giác trên quanh điểm tâm D của đường phân cách 180o cho ta một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích đa giác ba đầu.
+ Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích tứ giác BA’B’A = (a2 + b2 + 2ab) – 2ab = a2 + b2 (1)
+ Việc nối A với B’, B với A’ cho ta hình vuông BA’B’A. (Vì AB song song và bằng A’B’ ; A’B và AB’ cũng song song và bằng nhau ). Tứ giác BA’B’A chính là hình vuông có cạnh là c diện tích của hình vuông này là c2 (2)
Tử (1) và (2) ta có được c2 = a2 + b2 . Có nghĩa là định lý Pitago được chứng minh.
12. Hãy thử kích vào các nút Hide, sau đó lại kích lại vào chúng. Như vậy bạn sẽ thấy được sự biến đổi của các bước làm trên : từ 1 hình gồm 2 tam giác vuông và 2 hình vuông trên 2 cạnh bên biến đổi thành hình gồm 2 tam giác vuông và 1 hình vuông trên cạnh huyền của chúng. ( mà diện tích của toàn bộ hình không đổi). Đây chính là cách chứng minh định lý của daVinci.
Cách 4: Chứng minh của 1 tổng thống
James A. Garfield đã khám phá ra một cách chứng minh định lý Pitago vào
năm 1876, một vài năm trước khi ông ta trở tổng thống Hoa Kỳ. Một điều
thú vị là trong ngành toán học không chỉ có một người trở thành tổng
thống. Trước Garfield là ông Abraham Lincoln, là một thành viên của tổ
chức Euclid là một trong những tác giả của những cuốn sách có sức thuyết
phục nhất. Ông vừa là một luật sư vừa là một nhà chính trị. Cách chứng
minh của Garfield được minh họa với một hình tương dối đơn giản: là một
hình thang.
Dựng hình và kiểm tra .
1. Vẽ một tam giác vuông ABC và đặt tên các đỉnh như hình bên.
2. Đánh dấu điểm B làm tâm và quay cạnh c và điểm A theo B một góc 90o .( sau bước này ta được hình bên)
3. Nối điểm A và A’ sau đó vẽ một đường thẳng đi qua A’ và song song với cạnh b.
4. Sử dụng công cụ Ray để kéo dài đoạn CB. Và vẽ điểm giao D cỉa của tia này với đường thẳng đi qua A’.
5. Làm ẩn đi tia và đường thẳng đi và thay vào đó là đoạn BD và DA’.
Như vậy ta có tứ giác ACDA’ là 1 hình thang vuông vì :
+ DA’ và CA song song( do cách dựng ở bước 3)
+ Góc ACB vuông( do ABC là tam giác vuông ban đầu) góc CDA’ vuông.
6. Tô màu đa giác theo 3 tam giác vuông bên trong nó.
7. Hãy đo độ dài cạnh a, b, c.Và bạn có thể sử dụng kết quả đo lường này để tính toán diện tích của 3 tam giác và tổng của chúng :
+ Đo độ dài các cạnh bằng cách : di chuột đến cạnh đó và kích chuột phải length
+ Đo diện tích tam giác : kích chuột phải lên tam giác đó chọn Area
+ Tính tổng các tam giác : chọn menu Measure Calculate.
8. Sử dụng công thức tính diện tích của hình thanhg để tính diện tích hình ACDA’ chỉ dựa vào độ dài các cạnh.( dùng cái gì để đo chiều cao của hình thang vuông ?). Hãy vẽ miền trong đa giác của toàn bộ hình và xác nhận lại các tính toán của bạn đă làm là đúng.
- Trong cách chứng minh này từ cách dựng hình như trên , chúng ta tính được diện tích hình thang ACDA’ theo 2 cách :
Cách 1: Tính theo 3 tham số a, b, c (dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình thang bằng tổng diện tích 3 tam giác vuông trong đó 2 tam giác vuông màu đỏ có diện tích bằng nhau do tính chất của phép quay) thì ta có :
Dt = 2*ab /2 + c*c /2 (1)
Cách 2: tính theo 2 tham số a. b(dựa vào công thức tính diện tích hình thang):
Dt = (a+ b) *(a+b)/2 (2)
Từ (1) và(2) ta có Dt =ab+ c2/2 = (a+b)2/2 c2 = a2 + b2. chính là điều phải chứng minh.
Cách 5: Chứng minh định lý Pitago của Perigal
- Có nhiều cách chứng minh định lý Pitagocó nguồn gốc từ cổ xưa, nhưng lại được chứng minh lại bởi những người không biết đến nguồn gốc cổ xưa của nó. Đây là một cách chứng minh mà được ’ khám phá’ ra bởi nhà toán học Henry Perigal vào năm 1873, nhưng cách chứng minh này lại được biết đến là cách chứng minh của nhà toán học người A- rập Tâbit ibn Qorra.a cách đó hàng nghìn năm.
Dựng hình và kiểm tra
1. Vẽ một hình vuông CADE.
2. Vẽ một hình vuông nhỏ hơn sát ngay hình vuông CADE vừa vẽ sao cho 2 hình vuông này có chung một đỉnh( là A) và đỉnh thứ hai của hình vuông nhỏ nằm trên cạnh DA( đỉnh G) hình vuông nhỏ tạo được là hình vuông AGFB. Đặt tên cho độ dài cạnh của 2 hình vuông này lần lượt là b, a .
(hình bên minh họa cho bước 1 – 2).
3. Đánh dấu đoạn AB như 1 vectơ và dịch chuyển điểm C theo vectơ này. Cách làm như sau :
--> Chọn ( theo thứ tự) điểm A và điểm B, sau đó chọn Mark Vector từ menu Transform. Sau đó chọn chọn điểm C và chọn Translate từ menu Transform.
4. Vẽ đoạn thẳng EC’ và C’F.
5. Tô màu cho miền trong các đa giác là tam giác ( tam giác ECC’, và tam giác C’FB).
Nhận xét: Chúng ta bắt đầu dựng hình với 2 hình vuông liền kề với nhau, và bên trong của hình này chúng ta dựng hai tam giác vuông :
+ Trong tam giác vuông ECC’ ta có cạnh EC là cạnh hình vuông lớn nên có độ dài là b ; cạnh CC’ là kết quả của việc dịch chuyển điểm C theo vectơ AB nên CC’ dài bằng đoạn AB có độ dài là a.
+
Trong tam giác C’FB ta có cạnh FB là cạnh của hình vuông nhỏ, nên có độ dài là a. Cạnh C’B có độ dài bằng b ( Vì đoạn CC’ dài bằng đoạn AB).
--> Như vậy 2 tam giác vuông ECC’ và C’FB là 2 tam giác có diện tích bằng nhau là (a*b) /2.
Gọi độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông này là c.
6. Sử dụng công cụ Translator để chuyển dịch tam giác ECC’ từ điểm C đến điểm G , và để chuyển tam giác C’BF từ điểm B tới điểm D.(Xem lại bài tạo công cụ Translator đã giới thiệu) Việc dịch chuyển các tam giác không làm thay đổi kích thước của các tam giác đó.
7. Đánh dấu điểm E làm tâm và quay điểm C’ một góc 90o để tạo thành hình vuông EC’FC’’.
Nhận xét:
- Vì EC là cạnh của tam giác vuông ECC’ nên hình vuông EC’FC’’ có diện tích là c2.
Vì tam giác vuông ECC’ được di chuyển thành tam giác C’’GF : góc ECC’ = góc C’’GF( = 90o ).
Cạnh CC’ = cạnh GF( = a).
Cạnh CE = cạnh GC’’( =b).
Diện tích tam giác ECC’’= diện tích tam giác C’’GB.
Tương tự ta có : Diện tích tam giác C’BF = diện tích tam giác EDC’’.
Vậy ta có diện tích của tứ giác EC’FC’’ băng tổng diện hai hình vuông có cạnh b, a ban đầu. Nên diện tích EC’FC’’ = a2 + b2.
Đồng thời vì EC’FC’’ cũng là hình vuông có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh
huyền cuả tam giác vuông có các cạnh bên là b, a( dựng hình bước 7).
Nên diện tích của hình vuông EC’FC’’= c2 . Hay trong 1 tam giác vuông có c2= a2 + b2 (c là cạnh huyền, a,b là 2 cạnh bên).
Vậy có nghĩa là ta đã chứng minh được định lý Pitago.
Đặt lại tên cho nút này là Hide Reflection.
6. Kích chuột vào nút Hide Reflection này và bạn sẽ thấy được một nửa hình của ban đầu, phần hình đối xứng với nó bị ẩn đi (như hình bên dưới).
7. Đánh dấu điểm D làm điểm tâm và quay toàn bộ hình này 180o quanh điểm D .
Như vậy chúng ta đã tạo ra một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích của đa giác ban dầu.
8. Chọn đánh dấu tất cả các đối tượng ( đoạn thẳng và điểm) của phần
hình tạo được do xoay một nửa hình ban đầu và tạo1 nút hoạt động nữa.
Đặt tên cho nút này là Hide Rotation (xem hình bên dưới).
9. Vẽ đoạn A’B, và đoạn B’A. Như vậy chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy tứ giác BA’B’A chính là hình vuông trên cạnh c
10. Tô màu cho diện tích của hình tứ giác BA’B’A và hai tam giác vuông liền kề nó.
11. Đánh dấu đoạn A’B, và đoạn B’A, và diện tích của 3 đa giác ( gồm 2 tam giác vuông và 1 hình tứ giác), và tạo thêm 1 nút hoạt động . Có tên là Hide c Squared.
Nhận xét: Từ các bước dựng hìnhnhư trên, chúng ta có thể hình dung được cách chứng minh định lý của Leonardo da Vinci:
+ Cách dựng hình ở bước 1 – 4 cho 1 đa giác có 2 nửa đối xứng nhau qua 1 dường thẳng. Đa giác này có diện tích bằng tổng diện tích của 2 hình vuông trên các cạnh bên a, b của tam giác vuông ABC và diện tích của 2 tam giác vuông( có độ dài 2 cạnh bên là a, b).
+ Khi xoay 1 nửa đa giác trên quanh điểm tâm D của đường phân cách 180o cho ta một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích đa giác ba đầu.
+ Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích tứ giác BA’B’A = (a2 + b2 + 2ab) – 2ab = a2 + b2 (1)
+ Việc nối A với B’, B với A’ cho ta hình vuông BA’B’A. (Vì AB song song và bằng A’B’ ; A’B và AB’ cũng song song và bằng nhau ). Tứ giác BA’B’A chính là hình vuông có cạnh là c diện tích của hình vuông này là c2 (2)
Tử (1) và (2) ta có được c2 = a2 + b2 . Có nghĩa là định lý Pitago được chứng minh.
12. Hãy thử kích vào các nút Hide, sau đó lại kích lại vào chúng. Như vậy bạn sẽ thấy được sự biến đổi của các bước làm trên : từ 1 hình gồm 2 tam giác vuông và 2 hình vuông trên 2 cạnh bên biến đổi thành hình gồm 2 tam giác vuông và 1 hình vuông trên cạnh huyền của chúng. ( mà diện tích của toàn bộ hình không đổi). Đây chính là cách chứng minh định lý của daVinci.
Cách 4: Chứng minh của 1 tổng thống
James A. Garfield đã khám phá ra một cách chứng minh định lý Pitago vào
năm 1876, một vài năm trước khi ông ta trở tổng thống Hoa Kỳ. Một điều
thú vị là trong ngành toán học không chỉ có một người trở thành tổng
thống. Trước Garfield là ông Abraham Lincoln, là một thành viên của tổ
chức Euclid là một trong những tác giả của những cuốn sách có sức thuyết
phục nhất. Ông vừa là một luật sư vừa là một nhà chính trị. Cách chứng
minh của Garfield được minh họa với một hình tương dối đơn giản: là một
hình thang.
Dựng hình và kiểm tra .
1. Vẽ một tam giác vuông ABC và đặt tên các đỉnh như hình bên.
2. Đánh dấu điểm B làm tâm và quay cạnh c và điểm A theo B một góc 90o .( sau bước này ta được hình bên)
3. Nối điểm A và A’ sau đó vẽ một đường thẳng đi qua A’ và song song với cạnh b.
4. Sử dụng công cụ Ray để kéo dài đoạn CB. Và vẽ điểm giao D cỉa của tia này với đường thẳng đi qua A’.
5. Làm ẩn đi tia và đường thẳng đi và thay vào đó là đoạn BD và DA’.
Như vậy ta có tứ giác ACDA’ là 1 hình thang vuông vì :
+ DA’ và CA song song( do cách dựng ở bước 3)
+ Góc ACB vuông( do ABC là tam giác vuông ban đầu) góc CDA’ vuông.
6. Tô màu đa giác theo 3 tam giác vuông bên trong nó.
7. Hãy đo độ dài cạnh a, b, c.Và bạn có thể sử dụng kết quả đo lường này để tính toán diện tích của 3 tam giác và tổng của chúng :
+ Đo độ dài các cạnh bằng cách : di chuột đến cạnh đó và kích chuột phải length
+ Đo diện tích tam giác : kích chuột phải lên tam giác đó chọn Area
+ Tính tổng các tam giác : chọn menu Measure Calculate.
8. Sử dụng công thức tính diện tích của hình thanhg để tính diện tích hình ACDA’ chỉ dựa vào độ dài các cạnh.( dùng cái gì để đo chiều cao của hình thang vuông ?). Hãy vẽ miền trong đa giác của toàn bộ hình và xác nhận lại các tính toán của bạn đă làm là đúng.
- Trong cách chứng minh này từ cách dựng hình như trên , chúng ta tính được diện tích hình thang ACDA’ theo 2 cách :
Cách 1: Tính theo 3 tham số a, b, c (dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình thang bằng tổng diện tích 3 tam giác vuông trong đó 2 tam giác vuông màu đỏ có diện tích bằng nhau do tính chất của phép quay) thì ta có :
Dt = 2*ab /2 + c*c /2 (1)
Cách 2: tính theo 2 tham số a. b(dựa vào công thức tính diện tích hình thang):
Dt = (a+ b) *(a+b)/2 (2)
Từ (1) và(2) ta có Dt =ab+ c2/2 = (a+b)2/2 c2 = a2 + b2. chính là điều phải chứng minh.
Cách 5: Chứng minh định lý Pitago của Perigal
- Có nhiều cách chứng minh định lý Pitagocó nguồn gốc từ cổ xưa, nhưng lại được chứng minh lại bởi những người không biết đến nguồn gốc cổ xưa của nó. Đây là một cách chứng minh mà được ’ khám phá’ ra bởi nhà toán học Henry Perigal vào năm 1873, nhưng cách chứng minh này lại được biết đến là cách chứng minh của nhà toán học người A- rập Tâbit ibn Qorra.a cách đó hàng nghìn năm.
Dựng hình và kiểm tra
1. Vẽ một hình vuông CADE.
2. Vẽ một hình vuông nhỏ hơn sát ngay hình vuông CADE vừa vẽ sao cho 2 hình vuông này có chung một đỉnh( là A) và đỉnh thứ hai của hình vuông nhỏ nằm trên cạnh DA( đỉnh G) hình vuông nhỏ tạo được là hình vuông AGFB. Đặt tên cho độ dài cạnh của 2 hình vuông này lần lượt là b, a .
(hình bên minh họa cho bước 1 – 2).
3. Đánh dấu đoạn AB như 1 vectơ và dịch chuyển điểm C theo vectơ này. Cách làm như sau :
--> Chọn ( theo thứ tự) điểm A và điểm B, sau đó chọn Mark Vector từ menu Transform. Sau đó chọn chọn điểm C và chọn Translate từ menu Transform.
4. Vẽ đoạn thẳng EC’ và C’F.
5. Tô màu cho miền trong các đa giác là tam giác ( tam giác ECC’, và tam giác C’FB).
Nhận xét: Chúng ta bắt đầu dựng hình với 2 hình vuông liền kề với nhau, và bên trong của hình này chúng ta dựng hai tam giác vuông :
+ Trong tam giác vuông ECC’ ta có cạnh EC là cạnh hình vuông lớn nên có độ dài là b ; cạnh CC’ là kết quả của việc dịch chuyển điểm C theo vectơ AB nên CC’ dài bằng đoạn AB có độ dài là a.
+Trong tam giác C’FB ta có cạnh FB là cạnh của hình vuông nhỏ, nên có độ dài là a. Cạnh C’B có độ dài bằng b ( Vì đoạn CC’ dài bằng đoạn AB).
--> Như vậy 2 tam giác vuông ECC’ và C’FB là 2 tam giác có diện tích bằng nhau là (a*b) /2.
Gọi độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông này là c.
6. Sử dụng công cụ Translator để chuyển dịch tam giác ECC’ từ điểm C đến điểm G , và để chuyển tam giác C’BF từ điểm B tới điểm D.(Xem lại bài tạo công cụ Translator đã giới thiệu) Việc dịch chuyển các tam giác không làm thay đổi kích thước của các tam giác đó.
7. Đánh dấu điểm E làm tâm và quay điểm C’ một góc 90o để tạo thành hình vuông EC’FC’’.
Nhận xét:
- Vì EC là cạnh của tam giác vuông ECC’ nên hình vuông EC’FC’’ có diện tích là c2.
Vì tam giác vuông ECC’ được di chuyển thành tam giác C’’GF : góc ECC’ = góc C’’GF( = 90o ).
Cạnh CC’ = cạnh GF( = a).
Cạnh CE = cạnh GC’’( =b).
Diện tích tam giác ECC’’= diện tích tam giác C’’GB.
Tương tự ta có : Diện tích tam giác C’BF = diện tích tam giác EDC’’.
Vậy ta có diện tích của tứ giác EC’FC’’ băng tổng diện hai hình vuông có cạnh b, a ban đầu. Nên diện tích EC’FC’’ = a2 + b2.
Đồng thời vì EC’FC’’ cũng là hình vuông có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh
huyền cuả tam giác vuông có các cạnh bên là b, a( dựng hình bước 7).
Nên diện tích của hình vuông EC’FC’’= c2 . Hay trong 1 tam giác vuông có c2= a2 + b2 (c là cạnh huyền, a,b là 2 cạnh bên).
Vậy có nghĩa là ta đã chứng minh được định lý Pitago.
(Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường)
Subscribe to:
Posts (Atom)