Đề thi Olympic Toán SV 2012 Đại học Bách khoa Hà Nội

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN NĂM 2012 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Thời gian làm bài: 90 phút

ngày thi: 18/02/2012

Câu 1:
Cho $x_n=\underbrace{\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{6}}}}_{n lần} $. Tìm giới hạn $\lim\limits_{n\to\infty}{6^n(2-x_n)}$.

Câu 2:
Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $\forall x_0\in \mathbb{R}$, tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=g(x_0)$. Liệu hàm $g(x)$ có liên tục trên $\mathbb{R}$ không?

Câu 3:
Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $3f(2x+1)=f(x)+5x \forall x \in \mathbb{R}$.

Câu 4:
Cho $f(x)$ liên tục trên $[0;1]$ và khả vi hai lần trên $(0;1)$ thỏa mãn $f(0)=f(1)=0$ và $\min\limits_{x\in [0;1]}{f(x)} = -1 $. Chứng minh rằng: $$\max\limits_{x\in [0,1]}{f''(x)}\geq 8$$

Câu 5:
Cho hàm $f$ khả vi và liên tục trên đoạn $[0,1]$. Chứng minh rằng:
$$|f(\frac{1}{2})|\leq \int\limits_{0}^{1}{|f(x)|dx}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{|f'(x)|dx}$$

Đáp án và câu 6 Đề thi Olympic Toán SV 2012 Đại học Bách khoa Hà Nội cập nhật ở phần comment cuối bài viết trên tuyensinhvnn.