ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SV NĂM 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG HÀ NỘI
Môn: Đại số
Ngày thi: 18/02/2012
Câu 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp 2012 có các phần tử nằm trên đường chéo chính là số chẵn, các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là các số lẻ. Chứng minh rằng ma trận $A$ khả nghịch
Câu 2: Cho ma trận $A=(a_{ij})_{n.n}$ với $a_{ij}\in{-1;1},n\ge3$. Chứng minh rằng
$$det(A)\le(n-1)(n+1)!$$
Cho một ví dụ chứng tỏ đẳng thức xảy ra?
Câu 3: Chứng minh rằng nếu $A$ là ma trận đối xứng, xác định dương cấp $n\ge1$ thì $$Tr(A).Tr(A^{-1})\ge n^{2}$$
Câu 4: Cho đa thức hệ số thực $P(x),Q(x)$ thỏa mãn điều kiện: $P(1+x+Q(x)^{2})=Q(1+x+P(x)^{2}),x\in R$. Biết rằng phương trình $P(x)=Q(x)$ có nghiệm, chứng minh $P(x)\equiv Q(x)$.
Câu 5: Cho $A,B$ là các ma trận thực, vuông cấp 2 thỏa mãn $AB=BA ; A^{2012}=B^{2012}$. Tính ma trận: $(A+B)^{2013}$
Câu 6: Cho các ma trận cùng cấp $A,B$ thỏa mãn điều kiện $A+B=AB$. Chứng minh rằng: $$AB=BA; det(A^2+B^2)\ge 0$$
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SV NĂM 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG HÀ NỘI
Môn: Giải tích
Ngày thi: 18/02/2012
Xem ở phần comment cuối bài viết.
No comments:
Post a Comment