Đề cương thi Olympic Toán Sinh viên năm 2012

Kỳ thi Olympic Toán Sinh viên lần thứ 20 (2012) sẽ được tổ chức tại Phú Yên từ 09 -15/4/2012.

Nội dung chương trình thi Olympic SV 2012 như sau:

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN ĐẠI SÔ

Phần I: Đại số tuyến tính

1. Không gian véc tơ
- Định nghĩa, không gian con và các ví dụ liên quan tới giải tích
- Hệ sinh, hệ độc lập tuyến tính, cơ sở
- Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính và mối liên hệ với ma trận biểu diễn
2. Giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính và của ma trận: định nghĩa, các tính chất cơ bản, cách tìm.
3. Ma trận, định thức
- Ma trận (thực, phức), các phép toán của ma trận và một số tính chất.
- Định thức: định nghĩa (quy nạp theo cấp n và theo phép thế), định lý Laplace, tính chất của định thức, các phương pháp tính định thức.
- Ma trận nghịch đảo, các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo (theo phần bù đại số và biến đổi sơ cấp).
- Hạng của ma trận, cách tính hạng của ma trận.
- Ma trận đồng dạng và tính chéo hóa của ma trận.
- Phương trình ma trận. Đa thức đặc trưng, đa thức tối tiểu và Định lí Hamilton-Cayley.
- Một số dạng ma trận đặc biệt: ma trận Vandermonde, ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng, ma trận Hermite, ma trận trực giao.
4. Hệ phương trình tuyến tính.
- Dạng tổng quát và dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính. Hệ Cramer.
- Định lí Kronecker-Capelli.
- Phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Jordan
- Nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Phần II: Đa thức
- Các phép toán của đa thức, phân tích một đa thức thành nhân tử, ước chung lớn nhất của 2 đa thức, hai đa thức nguyên tố cùng nhau.
- Nghiệm của đa thức: định lí Bezout, lược đồ Horner, định lí Viet, biên của nghiệm, quy tắc dấu Descartes.
- Đa thức dương, công thức Taylo
- Bài toán xác định đa thức (phương pháp hệ số bất định, các phương trình xác định đa thức…)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH
1. Dãy số :
- Dãy hội tụ, dãy đơn điệu, dãy bị chặn. Giới hạn vô cùng
- Các tính chất và các phép toán về dãy hội tụ.
- Tìm giới hạn của các dãy số.
- Phương trình và bất phương trình sai phân
2. Hàm số:
- Định nghĩa hàm số, miền xác định, miền giá trị, hàm đơn điệu, hàm bị chặn, hàm tuần hoàn, hàm chẵn, hàm lẻ, hàm ngược.
- Giới hạn hàm số.
- Sự liên tục của hàm số, các tính chất của hàm liên tục.
- Phương trình hàm, bất phương trình hàm.
3. Phép tính vi phân hàm một biến:
- Định nghĩa đạo hàm, hàm khả vi và các phép toán về đạo hàm.
- Các định lý: Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, L’Hospital.
- Công thức Taylor, Maclaurin của hàm số.
- Cực trị, GTLN, GTNN của hàm số.
- Phương trình hàm trên lớp hàm khả vi.
4. Phép tính tích phân hàm một biến.
- Nguyên hàm và tích phân bất định.
- Các phương pháp tính tích phân bất định.
- Tích phân các hàm hữu tỷ, vô tỷ, hàm lượng giác.
- Hàm khả tính và tích phân xác định.
- Các phương pháp tính tích phân xác định.
- Tích phân có cận thay đổi.
- Định lý về giá trị trung bình của tích phân.
- Bất đẳng thức tích phân.